有如下方程組 
，當矩陣 A 各列向量互不相關時， 方程組有位移解，可以使用消元法求解，具體如下：
使用消元矩陣將 A 變成上三角矩陣 
，
，
使用消元矩陣作用於向量 b，得到向量 c，
，
，
Ax=b 消元后變為 
，即 
， 由於 
為上三角矩陣， 使用回帶法即可求解方程組。
對矩陣 
做如下運算 
。在消元過程中，已知 
，如何求解 
呢？
表示將矩陣A的第二行乘以 1 再加上矩陣A的第三行得到矩陣B的第三行，矩陣B的第一二行於矩陣A的第一二行保持一致。根據語義，
表示將矩陣B的第二行乘以 -1 再加上矩陣B的第三行得到矩陣A的第三行，矩陣A的第一二行於矩陣B的第一二行保持一致。
，
，
通過以上觀察，
僅需將對角線下元素相加即可得到，
，在矩陣消元過程中，對消元系數取反，然后放在相應的位置即構成了 
，也就是 L 。同時，消元法記錄下了 U，則有 Ux=c, b=Lc。
由於 L 為下三角矩陣，根據 Lc=b, 可求解 c；U 為上三角矩陣， 根據 Ux=c 可求解 x。
在消元過程中，如果遇到主元位置上為 0 情況時，需要使用行變換矩陣使消元過程得以繼續，PAx=Pb，P為行變換矩陣，記錄矩陣 L，U，P，可實現LU分解，過程如下：
有方程組 
，對矩陣 
進行LU分解：
1）
， 
，
；
2）
，
，
；
3）由於 
為 0，需要交換2，3行，則有：
， 
，
，交換L矩陣中小於第二列下變換因子位置，即交換 
與 
元素位置；
4）由於 Lc=Pb, 可計算出 c:
， 
；
5）由於 Ux=c，可計算出 x:
，
。
參考資料 Linear Algebra And Its Applications Gilbert Strang