今天學習了一些基於Simulink的簡單時滯微分方程組仿真，主要用到的模塊是“Variable Time Delay”，從效果上來看，目前可以實現一般的時變時滯和中立時滯系統的仿真，但是分布式時滯還不能實現。相對於之前的無時滯的情形，考慮時滯在模塊搭建上只需要添加一個時滯的影響，我們還是以例子說話，考慮如下的帶有時滯的神經網絡系統： \[\dot{x}(t)=-Ax(t)+Bf(x(t))+Cf(x(t-\tau(t))),\]其中，\(x(t)=[x_{1}(t),x_{2}(t)]^{T}\),\(A=I_{2}\),\(f(\cdot)=tanh(\cdot)\),\(\tau(t)=1+0.1\sin(t)\),\(B=\left[ \begin{matrix} 2 & -0.1\\ -5 & 3 \end{matrix} \right]\), \(C=\left[ \begin{matrix} -1.5 & -0.1\\ -0.2 & -2.5 \end{matrix} \right]\).
如果不考慮最后一項，很容易用下面的框圖得到結果：
這里“Matlab Function”模塊代碼為：
function y = fcn(u)
y=u;
A=-eye(2);
B=[2 -0.1;-5 3];
y=[A*u+B*tanh(u)]; 相比於之前的代碼，這里多了個“Scope”模塊，這個模塊可以比較方便看到狀態圖，但是不能直接做出相圖，設置好積分器的初值為“[0.1;0.1]”之后，保存此框圖，命名為“test2”，雙擊“Scope”模塊，得到下圖：
點擊菜單欄的綠色運行按鈕，得到下圖即為系統狀態隨時間的變化：
下面我們考慮最后一項的時滯影響，直接上圖再解釋吧：
將菜單欄的運行時間長度設置成100，保存，再雙擊“Scope”模塊，點擊菜單欄的綠色運行按鈕，得到下圖即為系統狀態隨時間的變化：
對於上面的模塊，我們做一些說明。對比沒有時滯的框圖，這里看上去要復雜很多，但是，我們還可以看到一條主要的反饋，即積分器前后。由於有了時滯，我們必須把時滯那一項單獨處理，所以在積分器前面有個模塊“Add”，顧名思義，這個模塊是加法模塊，將輸入的兩個信號相加，再看一下咱們的模型，可拆分為有時滯的和無時滯的兩個部分，所以，大家可以想到，上面的那根線是無時滯的，下面的那根線是有時滯的，在這里，上面的模塊“Matlab Function”里的代碼是：
function y = fcn(u)
y=u;
A=-eye(2);
B=[2 -0.1;-5 3];
y=[A*u+B*tanh(u)];這一部分就解決了前面兩項沒有時滯的部分，下面仔細看看時滯怎么處理的。積分器輸出的信號是系統的狀態，我們可以看到，這個狀態傳送到了“Variable Time Delay”模塊，這個模塊有兩個輸入一個輸出，我們假設上面的輸入是"u(t)",下面的輸入是"To(t)"，那么它的輸出就是“u(t-To(t))”，這里需要輸入的“u(t)”直接就是系統的狀態，所以留給我們的任務是“To(t)”該怎么設計。我們可以看到，下面的輸入來自一個“Matlab Function2”模塊，而“Matlab Function2”模塊的輸入是一個“Clock”模塊，這里“Clock”模塊的沒有輸入，只有輸出，它輸出當前的仿真時刻，即“t”的值，這里的“Matlab Function2”模塊則是時變延遲的表達式，代碼如下：
function y = fcn(u)
y=1+0.1*sin(u);這樣逐個解釋之后，大家應該能明白，咱們的“Variable Time Delay”模塊輸出的結果就是“\(x(t-\tau(t))\)”，我們將這個數據輸入到“Matlab Function1”模塊，能猜到“Matlab Function1”模塊的代碼嗎？這個模塊的輸出和上面無時滯的匯合就是咱們整個系統的表達式，所以“Matlab Function1”模塊的代碼如下：
function y = fcn(u)
y=u;
C=[-1.5 -0.1;-0.2 -2.5];
y=C*tanh(u);以上就是本框圖的所有解釋，為了得到相圖，咱們還是像之前一樣，寫個m文件，讀取輸出數據，看看混沌行為，m文件和相圖如下：
clear all;
clc;
[t,x]=sim('test2',[0,150]);
plot(x(:,1),x(:,2),'b');
xlabel('x_{1}(t)');
ylabel('x_{2}(t)');
本文一開始提及，利用這些模塊，我們可以處理中立時滯的微分方程組，事實上，中立時滯即時滯出現在導數項里面，也就是系統包含“\(\dot{x}(t-\tau(t))\)”這樣的項，只要大家真的能將前面的框圖和微分方程組對應起來，那就應該不難發現，積分器的輸入數據就是系統狀態導數的信息，積分器的輸出數據就是系統的狀態信息，因此，為了處理中立時滯，咱們只要在積分器前加一個反饋再處理時滯即可，以后找到合適的例子再補充。
咱們這里考慮的例子都是可以直接寫成矩陣、向量形式的例子，事實上，如果無法寫成這種形式（比如時滯只出現第一個分量，其余分量無時滯）的情況，咱們只需要借助“Bus Creator”模塊即可，這個模塊可以將整個系統拆分成一個個分量去輸入，最后輸出細節的處理大家可以自己探索一下。
這兩天學了點simulink的皮毛，感覺這個對於沒有基礎的學生來說比敲代碼要簡單，脈沖控制和采樣控制好像也是可以做的，后面我再摸索摸索，但是處理一些復雜情況比如分布式時滯、事件觸發等我就不知道靠搭建這些方塊行不行了，是不是必須得敲代碼，以后再慢慢探索。我寫這些博文只是為了實現自己想要實現的部分功能，怎么好理解怎么實現，並不一定是最簡單的，但一定是對我來說最好理解的。總的來說，還是比較有意思的。
2019.10.20 王飛