習題一初步理解時間復雜度大O表示法案例

1.如果 a+b+c=1000，且 a^2+b^2=c^2（a,b,c 為自然數），如何求出所有a、b、c可能的組合?

如上：a+b+c=1000, a平方+b平方=c平方  求出所有abc可能的組合？

思路方法：用枚舉法，a,b,c 一個一個試。

//枚舉法:
//a=0 ... a=1000;
//b=0 ... c=1000;
//c=0 ... c=1000;
//三個嵌套循環實現

//方法一:三個嵌套循環實現
$start = time();
echo "方法一:開始運行...\r\n";
for($a=0;$a<1001;$a++)
{
    for($b=0;$b<1001;$b++)
    {
        for($c=0;$c<1001;$c++)
        {
            if($a+$b+$c==1000 && $a*$a+$b*$b==$c*$c)
            {
                echo "a=$a , b=$b , c=$c \r\n";
            }
        }
    }
}
$end = time();
$total = $end-$start;
echo "開始時間:".date("Y-m-d H:i:s",$start)."\r\n";
echo "結束時間:".date("Y-m-d H:i:s",$end)."\r\n";
echo "共執行時間:$total 秒\r\n";
//共執行時間:34 秒
方法一：時間復雜度計算
關於如上程序方法一：時間復雜度的計算與大O表示法理解
時間復雜度 T ： 一層循環執行1000次， 二層循環執行1000次， 三層循環執行1000次， if條件兩行代碼總體看做兩個步驟 2次
時間復雜度執行的步驟可看做為：
T = 1000*1000*1000*2 
如果 a+b+c= 2000
時間復雜度則可看做為：
T = 2000*2000*2000*2

如果 a+b+c= 3000
時間復雜度則可看做為：
T = 3000*3000*3000*2

如果 a+b+c= N
時間復雜度則可看做為：
T = N*N*N*2
T(n)=N^3*2
T(n)=N^3*10 （細化分：不是很關注的，對於這個）
T(n)=N^3*k   (k 細分的系數對，可以忽略，不考慮那么細致可以看做 T(n) = N^3)
系數對數據走勢並不影響，可以忽略，主要是和N有關的幾次方影響數據走向的態勢。

漸進函數與時間復雜度 
T(n) = k*g(n)+c  k常數，c實常數  
g(n) = N^3     
g(n) 叫作 T(n) 的漸進函數

有關時間復雜度理解比較枯燥麻煩：具體相關定義如下：

   如上實例的：g(n) 就可以看作是 時間復雜度T(n) 的大O表示法, n就是解決問題的規模

時間復雜度
T(n) = k*g(n)+c 
大O表示法就是：
O(n) = g(n) = N^3 (忽略掉常數和實常數)

//方法二:分析題目得出結論 c= 1000-a-b, 優化程序!

$start = time();
echo "方法二:開始運行...\r\n";
for($a=0;$a<1001;$a++)
{
    for($b=0;$b<1001;$b++)
    {
        $c = 1000-$a-$b;
        if($a*$a+$b*$b==$c*$c)
        {
            echo "a=$a , b=$b , c=$c \r\n";
        }
    }
}
$end = time();
$total = $end-$start;
echo "開始時間:".date("Y-m-d H:i:s",$start)."\r\n";
echo "結束時間:".date("Y-m-d H:i:s",$end)."\r\n";
echo "共執行時間:$total 秒\r\n";
//共執行時間:0 秒

方法二：時間復雜度計算：
T(n) = n * n + (1 + max(1,0));
     = n * n + 2
     = n^2 + 2
則大O表示法，忽略常數就是：
T(n) 大O表示法： O(n) = n^2

時間復雜度的幾條基本計算規則

1. 基本操作，即只有常數項，認為其時間復雜度為O(1)
2. 順序結構，時間復雜度按加法進行計算
3. 循環結構，時間復雜度按乘法進行計算
4. 分支結構，時間復雜度取最大值
5. 判斷一個算法的效率時，往往只需要關注操作數量的最高次項，其它次要項和常數項可以忽略
6. 在沒有特殊說明時，我們所分析的算法的時間復雜度都是指最壞時間復雜度