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二進制負數的在計算機中采用補碼的方式表示。很多人很好奇為什么使用補碼，直接使用原碼表示多好，看上去更加直觀和易於計算。然而事實告訴我們，這種直觀只是我們人類的一廂情願罷了，在計算機看來，補碼才是它們最想要的。那么，為什么計算機使用補碼更好，又是如何通過補碼來計算數值的呢？
我看過網絡上很多解釋補碼的文章，幾乎一致的回答就是符號位不變，其他各位逐位求反再加一。在此我想說，這些都不是根本原理。誰都知道這么求，數電第一章就明確寫了怎么求，關鍵是為什么這么算，其中的原理是什么？
本文主要的內容就是深入講解補碼的原理，其中內容有相互引用成分及計算機基礎要求，不適合初學者閱讀。當然，隨便看看無所謂啦。
1.什么是補碼
這個沒有找到官方定義，只進行個人定義。
個人定義：補碼是計算機中用來表示負數，使得負數能夠使用加法器參與加法運算的一種碼。
加減是計算機中最常用的運算，加法一般使用加法器來實現，減法則使用減法器實現。那有什么辦法可以將減法變為加法，這樣就可以讓系統只實現加法即可，答案就是補碼。
理解補碼最簡單的例子就是時鍾。
例1：
假如一個時鍾現在顯示的是10點鍾，如何將它調到6點鍾？
解：有兩種方法，一是向后撥8個小時，二是向前撥4個小時
在這個例子中，8 和 4 互為補數，也就是說4的補碼是8,8的補碼是4，而這個時鍾的模就是12
注意：可能有人會想，在往后調8個小時雖然也調到了6點，但是他實際上比原來日期多了12小時。是的，的確如此，但是你的時鍾有地方存儲了這多余的12個小時嗎？答案是沒有，所以在你調完后，你沒有記錄這12個小時，換句話說，你把這溢出的12個小時自動舍棄了。當第二個人來查看鬧鍾時間的時候，他看到的時間就是准的。
例2：
一個數的數值是11，他的模是16，那么他的補碼是多少？
解：16-11 = 5，即補碼就是5。
2.模
關於模沒有找到固定的定義，簡單來說模就是一個循環的周期，在例1中，時鍾的一個周期就是12，所以模是12。一周的模是7天，一天的模是24小時。模是補碼的一個重要概念。
3.使用補碼運算
例3
16-13，模為32，使用補碼運算該算式。
解 (16 + （32-13）)% 32 = 35 % 32 = 3
4.使用補碼進行二進制運算
有看過數電基礎的都應該記得，第一章就有說明如何求二進制補碼是如何運算的。正數的補碼即為自己，負數的補碼為符號位不變，其余逐位求反再加1。
使用該定義，先通過例子求出數值，再對例子進行詳細講解，為什么可以使用負數的補碼來運算。
例4 通過二進制求15-11的值
要想讓減法變加法，必須轉換算式為 15 + （-11）
15為正數，符號位為0，二進制表示為 01111
-11為負數，符號位為1，負數源碼為 11011 ，補碼符號位不變，其余逐位求反再 +1，即 10101
所以 15 + （-11） = 01111 + 10101 = 100100 舍棄最高位（與高地址位概念不同）溢出位，即00100，即+4
這是一個最簡單的補碼算法運算的例子，卻有很多不解之處。
1.為什么負數 （-11 ）逐位求反再+1就可以代表原來的數？
2.為什么高位舍棄
3.為什么符號位能夠參與運算
先看問題1，-11 先不考慮符號位，觀察11的二進制表示，11使用二進制表示是 1011，將1011 逐位求反 得到 0100，因為是逐位求反，1011 +0100 = 1111 ，而1111 + 1 = 10000，發現了什么？10000是四位2二進制數的模。為什么10000是4位二進制數的模呢？原理也很簡單，4位寄存器最高能表示什么數？即0b1111 = 15 , 15 +1 =16 即溢出低四位歸 0，所有模為16。
所以不管幾位二進制數，取反后得到的值加原碼會剛好的到所有的位都是1的二進制數，再加一就剛好進位得到模。所以取反加一是無論如何都能取到補碼的。比如 ：（原）101 + （補)((反)010 +1） = 8 ，（原）10 + （補）（（反）01 +1）= 4。
所以，負數符號位不變，其余逐位求反 +1 只是算出補碼最簡單的方法，而不是理論基礎。
前面提到過，使用補碼代替原碼，計算后模掉溢出得到數值就可以得到計算的值了。
再看問題2，為什么高位舍棄，這個問題其實在例1中已經做了說明，因為你沒有存儲這個高位的空間，用最簡單的解釋來解釋就是，一個4位的寄存器，只能存儲數據的低四位，最高第五位沒地方放，就像例1中多出來的12小時，沒有地方存儲，那么就丟棄了，反正結果正確就行。可能有人會問，你說丟棄就丟棄嗎，丟了你怎么保證是正確的？
重新再看一次例4，現在考慮符號位，將符號位加入運算。
15 - 11 = 15 + （-11），其中 -11 為 11011（加了一位符號位，所以模為 16 * 2^1） 他的補碼為 10101 = 21
所以 15 -11 變為 15 +21 = 36 （01111 + 10101） ，想想看，原先是減一個數，變換后卻變成了一個比減數更大的加數了，能不溢出嗎。所以要模掉溢出位 36 % 32 = 4 。仔細觀察被模數36 = 1 00100 你會發現，在數據高2位以前的所有高位都是32的倍數，所以用32進行模運算就會全部清0，這就是為什么高位可以直接舍棄的原因，因為高位永遠會是模的倍數。
最后看問題3，為什么符號位能夠參與運算，可能在這前面一直被符號位困擾，為什么參與運算就沒有問題，看了這里的解釋，我相信你講不會再被困擾。
符號位對於我對二進制補碼的理解產生了很大的阻礙，我不明白為什么符號位可以參與運算，而且算出來還是對的。花了不少時間理解了符號位的含義。我想說，符號位不變，其余逐位求反 +1 這個定義很差。
首先放棄符號位就是計算機表示正數和負數用的這個思維，改成這樣理解，就會非常清晰：在有符號的數據類型中，第一位如果是0，那么這個數值是正數原碼，第一位如果是1，那么這個數值是負數補碼，這個數值是計算所得,而不是計算機設定的如此。
然后放棄負數補碼符號位不變，其余逐位求反再+1這個方法，使用如下負數補碼的求法。一個二進制數值如果是正數，那么將不變。如果是負數，那么這個二進制數最高位加一位0（如： 1010 變為 01010 ,位數變高一位，模需要乘2，即由16變32），對該數求補碼（01010 求補碼 10110） 。是不是發現，所謂的符號位不變，其余逐位求反再加一和 在數值前面再加一位0，再所有位求反再+1的效果是一樣的，只要求反，最高位0肯定會變成1。一旦知道第一位是0或者1，也就確定了他是正數還是負數了，采用這種理解法，運算符可以加入運算也就理所當然了。（被減數 + 負數補數）% 負數補數的模 = 帶符號計算值 這樣的計算方式能保證所有的符號位都能參與運算。而符號位不變，其余取反+1的解釋顯的符號位非常難以理解。
最后再看下重新思考這個運算思路，在運算中，如果遇到加法運算符，則直接運算符，如果遇到減法運算符，查看減數是正數還是負數，如果是負數，從補碼反求源碼，加入計算，如果遇到正數，則最高位加一位0，取反 +1 求補碼，加入運算。
到這里補碼的原理就差不多講清楚了，無非是使用模進行轉化，但是我們站在十進制的角度，去看二進制的東西，的確會顯得相當費解。
內容有相互嵌套成分，閱讀后回顧前面的內容可能會更加深入理解。
還有很多特殊情況沒有考慮，只講解了最核心的內容。
本文純屬個人理解，如有紕漏，請勿拍磚。
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