一、題目
設平面上分布着n個白點和n個黑點，每個點用一對坐標（x, y）表示。一個黑點b=（xb,yb）支配一個白點w=(xw, yw)當且僅當xb>=xw和yb>=yw。
若黑點b支配白點w，則黑點b和白點w可匹配（可形成一個匹配對）。
在一個黑點最多只能與一個白點匹配，一個白點最多只能與一個黑點匹配的前提下，求n個白點和n個黑點的最大匹配對數。
二、解題思路
一看完題目，一開始的思路是先將黑白點分別存入兩個數組中，再對兩個數組分別進行對x和對y的排序，在實際實驗過程中，發現排序完后數組的下標與點不好對應，這樣就不容易確定一個點是否已經匹配過。
經過了解查閱后發現了最大匹配問題的算法，和本題類似，而且遞歸的操作復雜度遠小於多次對數組的排序。
而且過多的排序也造成了算法思路難以理清。決定先學習掌握最大匹配度算法再考慮本題…
在查閱了最大匹配度問題的思想后，發現這是一種遞歸形式的方法，算法需要基於對二分圖的遍歷算法，這就需要學習DFS或者BFS，所以又去復習了一下這兩個算法，在徹底掌握了之后終於可以步入正題了…
（dfs和bfs的執行動態圖）
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理解了最大匹配算法后，發現只要在圖遍歷的基礎上，多借助一個matching數組，用來儲存各匹配點之間的聯系，通過一些剪枝和判斷就可以實現。
我選擇了DFS進行最大匹配算法的基礎算法，DFS是對圖做出處理，在空間上需要借助一張鄰接矩陣，我的想法是將黑白點問題化作圖，再根據題目的要求做出對應的鄰接矩陣，這樣再通過最大匹配就可以求解出來。
下面主要針對這兩個問題討論並通過具體例子演示最大匹配核心思想。
1、如何將黑白點化作圖：
創建一個結構體
黑白點都看作頂點，只通過color進行區別
2、如何求對應鄰接矩陣：
對儲存所有頂點的結構體數組做兩次循環，若滿足題目中黑點xy坐標大於白點，即將鄰接矩陣該位置置為1。
3、具體流程演示：
上圖分析：
通過鄰接表可以知道，2能控制4,7,8三點
一開始2就控制了4，跳過2點
接着5控制了7，跳過5點
6控制了7,但是7已經被5控制，這時回到5，
5控制了8，跳過5
這時7沒人控制，6控制7，流程結束，匹配度為3。
三、代碼
1 public class MaxMatching {// 基於DFS
2
3 static int graph[][]; // 鄰接表 默認全為0
4 static int n; // 節點數
5 static int visit[]; // 是否訪問
6 static int matched[]; // 是否已經匹配，對應的匹配點
7 static vertex V[];//// 結構體數組儲存所有黑白
8
9 public class vertex {// 頂點結構體
10 public int color;// 白:0 黑：1
11 public double Vx;
12 public double Vy; 13 } 14 15 public void Init() { 16 System.out.println("輸入的黑白點總數為："); 17 Scanner sc = new Scanner(System.in); 18 n = sc.nextInt(); 19 graph = new int[n][n]; // 鄰接表 默認全為0 20 visit = new int[n]; // 是否訪問 21 matched = new int[n]; // 是否已經匹配，對應的匹配點 22 V = new vertex[n]; 23 InitGraph();// 初始鄰接矩陣 24 } 25 26 private void InitGraph() { 27 Scanner sc = new Scanner(System.in); 28 for (int i = 0; i < n; i++) {// 輸入黑白點 29 V[i] = new vertex(); 30 System.out.println("please int color/x/y"); 31 V[i].color = sc.nextInt(); 32 V[i].Vx = sc.nextDouble(); 33 V[i].Vy = sc.nextDouble(); 34 } 35 for (int i = 0; i < n; i++) { 36 for (int j = 0; j < n; j++) { 37 if (i != j && (V[i].color == 1) && (V[j].color == 0) && (V[i].Vx > V[j].Vx) && (V[i].Vy > V[j].Vy)) { 38 graph[i][j] = 1; 39 } 40 } 41 } 42 } 43 44 // 顯示匹配結果 45 public void show() { 46 Arrays.fill(visit, 0); 47 for (int i = 0; i < n; i++) { 48 if (visit[i] == 0) { 49 if (matched[i] != -1) { 50 System.out.println("(" + V[i].Vx + "," + V[i].Vy + ")與" + "(" + V[matched[i]].Vx + "," 51 + V[matched[i]].Vy + ")" + "匹配"); 52 visit[i] = 1; 53 visit[matched[i]] = 1; 54 } 55 } 56 } 57 } 58 59 /* 60 * dfs實現, params: x:起始的未匹配點 return: 1:找到增廣路 0:未找到 61 */ 62 public int dfs_solve(int x) { 63 // 找到一個和節點存在邊的點，並且該點在本輪中沒有被訪問過 64 for (int i = 0; i < n; i++) { 65 if (graph[x][i] != 0 && visit[i] == 0) { 66 visit[i] = 1; // 標記為匹配過 67 // 按照交替路的模式找增廣路，增廣路相對於交替路的特性是就是，第一個節點和最后一個節點都是未匹配過的節點 68 if (matched[i] == -1 || dfs_solve(matched[i]) == 1) { // 直接跳到matched[i]能夠保證匹配邊和未匹配邊交替 69 // 說明找到了一個未匹配節點，將所有匹配邊變為未匹配邊，將所有未匹配邊變為匹配邊，這樣匹配邊數會加1,這個交換過程通過回溯實現 70 71 matched[x] = i; 72 matched[i] = x; 73 74 System.out 75 .println("(" + V[x].Vx + "," + V[x].Vy + ") 與 " + "(" + V[i].Vx + "," + V[i].Vy + ")" + "匹配"); 76 return 1; 77 } 78 } 79 } 80 return 0; 81 } 82 83 public void hungarian1() { 84 Arrays.fill(matched, -1); 85 int sum = 0; 86 for (int i = 0; i < n; i++) { 87 if (matched[i] == -1) { 88 System.out.println("從 " + "(" + V[i].Vx + "," + V[i].Vy + ")" + " 開始匹配"); 89 Arrays.fill(visit, 0);// 重置瀏覽數組，用來瀏覽鄰接矩陣當前列 90 sum += dfs_solve(i); 91 } 92 } 93 System.out.println("\n"+"最后共有 " + sum + " 匹配項"); 94 show(); 95 } 96 97 public static void main(String[] args) { 98 MaxMatching mm = new MaxMatching(); 99 mm.Init(); 100 mm.hungarian1(); 101 } 102 }
四、對DFS和BFS的總結
兩者借助的數據結構不同
DFS借助了鄰接表 BFS借助的是隊列，但兩者為了查看重復都使用了布爾類型數組。
思路不同
DFS是一口氣走到底，以遞歸的方式，直到不能再走為止
BFS像是往水中扔石子，水波盪開。
相同點
兩種方法若是從一點出發，有時候並不能遍歷整個圖，因為圖像可能是不連通圖。
解決方法是做出一個循環，每個點都出發一次（條件語句將跳過已經查看的點）
寫在結尾：
看完同學的代碼后發現他在黑白點問題上沒有使用最大匹配算法，但是又不出錯，我就納悶了，找了多個反例未果后重新仔細思考了問題，發現此題中黑白點的數目是相同的，所以具有一定的局限性，不需要最大匹配也能完成。在某種程度上我反而錯了，但是學習重要的是過程，當黑白點數目不同時最大匹配算法仍然可以解決，在很多實際問題中也需要最大匹配，所以花時間學習還是很值得。