7-3 兩個有序序列的中位數 (20 分) log n的解法

題目描述

已知有兩個等長的非降序序列S1, S2, 設計函數求S1與S2並集的中位數。有序序列A​0​​,A​1​​,⋯,A​N−1​​的中位數指A​(N−1)/2​​的值,即第⌊(N+1)/2⌋個數（A​0​​為第1個數）。

輸入格式:

輸入分三行。第一行給出序列的公共長度N（0<N≤100000），隨后每行輸入一個序列的信息，即N個非降序排列的整數。數字用空格間隔。

輸出格式:

在一行中輸出兩個輸入序列的並集序列的中位數。

輸入樣例1:

5
1 3 5 7 9
2 3 4 5 6

輸出樣例1:

4

題解

因為要求log n的解法，而且題目是非降序的序列，就自然而然想到最近上課教的二分搜索了。

這里有三種情況

1.a[mid]>b[mid]    那么我們取a的左邊（包括a）和b的右邊(包括b)比較

2.a[mid]<b[mid]   那么我們取a（包括a）的右邊和b的左邊(包括b)比較

3.a[mid]=b[mid]  此時a[mid]、b[mid]即為所求

但是有一個特殊情況就是當數組長度為偶數的時候

我舉個栗子

比如 這個樣例

a : 1   2   3   4   5    6

b : 7   8   9  10 11 12

round 1:a[mid]=3, b[mid]=9;

9>3，此時a的右邊包括a 是四個數，而b的左邊包括b是三個數，兩個序列長度不相等。

所以我們在遇到偶數長度的數組時，要在round 1的時候，應該取不等長的，a取第三個數，b取第四個數。

我們第一次取得兩個數組的長度是不等長的，但是我們這樣處理了以后，（后面的操作和對奇數長度數組一樣），

我們以后每次操作的長度就會相等了。（兩個數組肯定一個取左邊，一個取右邊）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int a[100009];
int b[100009];
int binarysearch1(int l1, int r1, int l2, int r2)
{
    int mid1=(l1+r1)/2;
    int mid2=(l2+r2+1)/2;//+1處理，可以在遇到偶數序列時處理
    
    if (l1== r1&&l2 != r2) {
    if (a[l1] > b[r2])return b[r2];
    else return a[l1];
    }
    if (l2 == r2&&l1 != r1) {
    if (b[l2] > a[r1])return a[r1];
        else return b[l2];
    }    
    if(l1==r1&&l2==r2) {
        if(a[l1]>b[l2]) return b[l2];
        else return a[l1];
    }

    else    
    { 
       if (l1 == r1 - 1 && l2 == r2 - 1) //當a、b數組都只剩兩個數字時
        {
        mid1 = (l1 + r1) / 2;
        mid2 = (l2 + r2) / 2;
        }
    if (a[mid1]==b[mid2]) return a[mid1];
    else if (a[mid1] > b[mid2]) binarysearch1(l1, mid1 ,mid2, r2);
    else binarysearch1(mid1, r1, l2, mid2);
    }
    
} 
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i=0; i<n; i++)  cin >> a[i];
    for(int i=0; i<n; i++)  cin >> b[i];
    cout << binarysearch1(0,n-1,0,n-1) << endl;

}

 算法時間及空間復雜度分析：因為每次都是二分，主函數中定義了n,進行了一次輸入，以及對數組的賦值，則t1(n) = O(n)+O(1),在 binarysearch1函數中，每次都進行三次判斷，t2(n)=O(1)+O(1)+O(1)，由於進行二分操作，故該函數總共調用log n次. 總共的時間復雜度是O（n)=t1(n)+log n*t2(n),因此總時間復雜度為log n;

而空間復雜為O（1），因為沒有再開拓新空間。

心得：當判斷的條件很多時，也要耐心，仔細，寫好每一個if else語句，模擬出所有情況來。