原文鏈接：https://blog.csdn.net/redRnt/article/details/83384255
知識點：
一、數的補碼 原碼 移碼表示
無符號數與有符號數
無符號數，即沒有正負號的數，是數的絕對值，在其面前添上正負號，便成了有符號的數。計算機的數均存放在寄存器中，通常我們稱寄存器的位數為機器字長，當存放有符號數的時候，需要占用以為存放符合位，所有，如若機器字長為16位，那么： - 無符號數可表示的范圍為 0 — 2^（16） -1 - 有符號數可表示的范圍為 -2^15 — 2^（15） - 1
15次方是因為符號位占用了一位。 那么計算機如何表示有符號數呢？我們規定，用0表示正號，用1表示負號，這樣符號也就被數字化了，並規定放在有效數據之前，例如： +0.1011 在機器中表示為0（小數點位置）1011 -1100 在機器中表示為1，1100（小數點位置） 為了方便區分手寫的數和將符號數字化的數，我們把前者稱為真值，后者稱為機器數。即 -1100（真值） -> 11100（機器數） 將符號數字化以后帶來了新的問題，運算時，符號位是否參與運算，如果是，那么如何處理？為了處理好這些問題，於是就引入了原碼，補碼，反碼和移碼等編碼方式。
原碼：
原碼，又稱帶符號的絕對值表示，符號位為0表示正，為1表示負。用大白話來講，就是直接將數值部分寫成二進制數然后前面添上0或者1，用來表示正負號。
其實上面的公式我們只需要了解即可，實際的轉換很簡單 比如
X = +1110時 [X]原 = 0,1110
X = -1110時 [X]原 = 1,1110 （逗號只是為了區分符號位實際不存在）
X = 0.1101時 [X]原 = 0.1101
X = -0.1101時 [X]原 = 1,1110（注意不是10.1101，因為0並不是有效數據位）。
注意： 1. 若字長為n+1，那么原碼整數的表示范圍為：
2. 原碼中0的表示方式有兩種：
0的原碼表示方法不唯一
補碼：
計算機中存放的數值方式大多數是用補碼存放，計算（尤其是減法做加法運算時）時也通常采用補碼運算方式，因此要對補碼非常敏感。
對於純整數：
對於純小數：
而對於0而言，
反碼
反碼，通常用來由原碼求補碼或者由補碼求原碼的過渡環節。 我們先看看數學定義：
對於純小數：
對於純整數：
所以，*記住上面的表示范圍就夠了*，我們具體看看運算過程，取反操作就是將原碼中的0換成1,1換成0.就完事了。
當X = +1101時，X反 = 0，1101 當X = -1101時，
X反 = 1，0010（當為負數的時候，符號位不變，數值位執行取反操作）
當X = +0.0110時，X反 = 0.0110 當X = -0.0110時，X反 = 1.1001
對於0來說，反碼的表示方式也有兩種（0，000或者1,111），這就自己去寫了。
0的反碼表示不唯一
三種之間的關系：
- 三種機器碼的最高位均為符號位，符號位與數值位用逗號隔開
- 當真值為正時，原碼補碼反碼表示方式相同。
- 當真值為負時，三者表現都不同，但是符號位都用1表示，補碼可以用“原碼求反（不含符號位）后加1”求得。而反碼是原碼除了符號位以外的部分都進行取反操作。
- 其中0在移碼和補碼中的表示方式都是唯一的。
移碼
當真值用補碼表示的時候，由於符號位與數值位一起編碼，這與習慣上表示不同，我們很難從補碼形式上直接判斷真值的大小。但是如果對每個真值位（注意不包含符號位），都加上一個2^n（n為整數位），那么在數軸上，移碼表示的范圍恰好對應真值在數軸上移動2的n次方個單元。所以叫做移碼。
它常常用來表示浮點數的階數，因為它只能表示整數。 對於移碼來說，0的表示是唯一的，假設字長為6位（含一個符號位）那么0的表示為：
+0移 = (2^5) + 0 =1,00000
-0移 = (2^5) - 0 =1,00000
特點：
1. 0 的表示方式唯一
2. 對於同一個真值，移碼和補碼相差一個符號位，且相反，例如：-11110 補碼為1,00010，移碼為：000010
3. 引入移碼是為了直觀的判斷真值大小，所以移碼大，真值就大
二、二進制與16進制
三、強制類型轉換
基本數據類型
- 整型（int）：即定點整數，在寄存器中一般用補碼表示，其最高位代表符號位，一般是4個字節。具體的位數跟變異平台有關。
- 無符號整數（unsigned）：無符號，即不考慮數據位，二進制碼表示的數就是其值。一般用補碼表示。
- 長整型和短整型（long short）：用補碼表示，這只是位數不同罷了（一個長一個短）。
- 單精度浮點數和雙精度浮點數（float double）：就是我們平時說的小數點會移動的小數，前面的32位，后面的是64位。
數據間的保留，當計算記過超出機器所能表示的范圍的時候，就會發生“溢出現象”。此時面臨一個問題，那么是丟掉前面的N位還是丟掉后面的N位呢？一般我們選擇保留后面的N位，丟掉前面的N位，若丟掉后發現不能表示正確的結果，說明產生溢出，還有一種情況就是不受影響了。
強制類型轉換實際上是位值不變，只是改變了解釋這些位的方式。
當數據太大，用二進制不好表示的時候我們選擇用16進制（在之前提到過），分別是0x000286a1，0x86a1，0xffff7751, 0x7751,可以看出大字節轉向小字節的轉換的規則是：低位直接賦值（賦幾位就看你的數據占幾位，比如short占2字節，16位，一個16進制數代表4位2進制數），高位直接截斷。
輸出的數用16進制表示我就不說了，結論：從短字長到長字長的轉換，相應的位值不變，向高位補充的數為符號位，所以-4321前面的16位都是1，因為它符號位是負號，如果是正號，那就變成0.
四、定點數及其加減運算
定點數
定點數：小數點固定在某一個位置的數，有純小數和純整數之分。 假設數據用原碼表示，那么： 純小數可以表示為
對於純整數，可以表示為：
對比前面兩幅圖，只是小數點的位置不一樣而已，在末尾表示整數，在內部表示小數。那么為什么表示整數的時候我們要減去一個1呢？我們回想一下原碼的表示范圍就會發現，原來是原碼中0可以有兩種不同的表示方式，因此減去一個重復的0.
定點數的運算
定點數的運算主要包括，移位，加，減，乘，除運算。其中移位運算是基礎，加減運算是重點，乘除運算過程繁雜，不大可能在考試中出現。
移位運算
計算機中的定點數的小數點位置都是事先約定好的，所以二進制的小數點移動相當於乘上或者除以2的指數。就很像我們十進制中的移位：
15 -> 150 //小數點右移一位 相當於乘10
15 ->1.5 //小數點左移一位，相當於除10
那么類比到二進制來說，就是乘上或者除以2^n。 對於有符號數的移位，我們稱為算術移位，移位運算也稱移位操作。
操作的規則如下：
- 無論是正數還是負數，移位前后符號位不變
- 真值為正的時候，左右移動均添0
- 若真值為負，那么分下面三種情況： （1） 原碼添0 （2） 補碼左移添0，右移添1 （3） 反碼添1
移位可能帶來的問題：
1. 對於正數而言：左移的時候最高位可能丟1，即把1移出去了，造成溢出。反之，右移有可能把最低位的1移出去，影響數據的精度。
2. 對於負數而言：原碼與上述情況一致，因為都是添0，而反碼的左移添加的是1，右移也是如此，因此均會造成0的丟失影響精度。對於補碼來說做移高位丟0，右移丟1，精度都不對。
加/減運算
計算機中，加法減法的運算是最基本的運算，其中我們平時的計算中也可以知道的是，減法可以當做加法進行運算。比如： A - B = A +(-B); 由於我們前面說過，引入補碼的原因就是為了方便計算，所以我們都采用補碼來進行運算的。
基本公式（或者說理論基礎）： [A]補_+ [B] 補= [A + B]補 [A]補 - [B]補 = [A]補 + [-B]補
其中 [-B]補 稱為求補后的減數，由[B]補，連同符號位在內，每位取反，末位加1所得。
下面看兩道計算題： （1）已知X = +1001 ,Y = -0101,求【X+Y】補，以及X+Y。
這里，我們可以明顯的看到，在使用補碼的運算中，符號位參與了編碼並且一起參與了運算。因為符號位只有一位所以舍棄最高的一位。
（2）已知某機器字長為8位（含一位符號位），令A = 15,B =24, 求【A+B】補 和（A-B）。
溢出判斷
考慮這樣一個問題，機器字長仍為8位，其中A = -93，B = 45.按照計算規則，我們有：
很明顯我們的計算過程是沒有任何的問題的，但是問題出在我們把符號位參與了運算，我們根據常識知道結果為 -138 而138顯然大於2^7 = 128.所以7位數值位不足以容納超過128（不用減一因為補碼表示的0唯一）的數。這種計算結果超過機器字長的現象我們稱為溢出。
1. 肉眼觀察法（做題好用） 這種往往看似很蠢的方式，卻是最直觀也是最有效的方法。就是通過對計算結果的大致估計來判斷是否發生溢出。就比如上題，我們顯然可以直接算出 -93-45 = -138，顯然會發生溢出。對於一些判斷溢出的方式往往這種方式最有效。
2. 一位符號位判斷溢出（計算機中判斷方式之一） 我們先看看溢出的必要條件是什么，同號相加，異號相減才有可能發生溢出。因此無論是做加法還是減法，只要實際參與操作的兩個數（減法為【-B】補），符號相同，結果又與原操作數符號不同，即可以說明發生了溢出。
看下面一道例題： 設某機器字長為4位（含一位符號位） 當A = 5，B = 4時，有：
當A = -5,B = -4時，有：
這個時候產生了兩個符號位，我們舍去最高的符號位，剩下0為符號位。
3. 兩位符號位判斷溢出 兩位符號位的補碼，也稱變形補碼。即在原符號位的前面加多一位符號位，這個加上去的符號跟之前的符號位一樣。
比如： 【X】補 = -0.1011 加多一位符號位變為 11.1011
【X】補 = 0.1011 加多一位符號位變為 00.1011
原理：當結果的2位符號位不同時（即01或者10），表示溢出，且高位（就是第一位）的符號位永遠代表着真正的符號。 舉個例題：
五、浮點數及其加減運算
相對於定點數，浮點數就是小數點可以浮動的數。通常用來表示數值范圍相差很大的數（比如太陽的質量跟電子的質量相差）。 通常我們使用這樣的表達式來表示浮點數：
其中，r表示底（因為是指數的形式，一般取2的n次方），E表示階碼（階碼可正可負）。M為位數（可正可負）。 當r = 10的時候，就是我們熟悉的科學計數法。在計算機中我們研究的是r = 2的時候。
規格化數與浮點數的規格化
為了提高數據的精確度以及便於比較浮點數的大小，在計算機中規定浮點數的尾數用純小數表示。其中尾數最高位為1的浮點數稱為規格化數。比如 N = 0.110101 X 2^10.尾數的最高位為1.所以稱為規格化數。 為了提高浮點數的精確度，要求其尾數必須為規格化數，如果不是規格化數，那么就要修改階碼的值並同時左右移尾數的方法，使其變為規格化數。 根據尾數的移動位置，我們將規格化分為左規和右規（待會詳細說）。我們先來看看一個十進制數的移動：
二進制的移動也是如此的。 因此我們得到這樣的結論：
從圖中我們可以看出至少這幾點：
1. 對於原碼而言，其規格化數的最高位一定是1
2. 對於補碼而言，其規格化數的最高位一定與符號位相反
3. 對於正數，無論其是原碼還是補碼，規格化后的形式一樣
4. 對於負數，補碼的規格化數是原碼規格化數的除了規格化位以外的全部取反
IEEE754標准
現代計算機的浮點數一般采用IEEE定制的國際標准，這種標准形式如下：
根據浮點數的位數的不同，常見的浮點數有三種，短浮點數（float），長浮點數（double），臨時浮點數。具體形式如下：
考試中，最常出現的當屬短浮點數（float）了，因為長浮點數位數較多且原理與短浮點數一致。
1. 最高位為符號位，占用一位的空間
2. 階碼為8位，以移碼的方式存儲，階碼表示的范圍為[1 ~ (2^8) - 1],為什么不是0-255？因為全0用來表示無窮大，全0表示非規格化數。
3. 尾數數值位為23位，在這里采用了隱藏位策略，由於我們規定了尾數最高位為1，也就是說數值位的第一位總會是1，所以我們可以采用23位來表示24位的數（我們把最高位的數值位隱藏了起來）。即不在23位數值位中存儲這個1（這部分內容經常考！！）
4. 偏置值，對於float數而言，偏置值為127（(2^7) - 1,其中，全一表示無窮大，至於為什么是7次方不是8次方，回顧移碼的定義），表示階碼的移動。在存儲浮點數階碼之前，要將偏置值加到階碼的真值上。比如階碼為3，那么移碼表示的階碼為： 127 + 3 = 130（80H）。
所以，規格化后，float數的真值為：
其中 s = 0代表正數，s = 1 代表負數。由我們剛剛討論出來的各個字段的范圍可以得到float浮點數的表示范圍： 顯然，當E = 1，M= 0 的時候，浮點數最小， 當 E = 254, M = 111111...（23個1）.的時候，浮點數最大；
浮點數的加減運算
同定點數相同，浮點數的加減也采用補碼的形式運算，不同的是，浮點數運算的過程較為麻煩。
1. 對階 即小數點的位置對齊，此時兩個浮點數的階碼相等。因此我們首先得得出兩個浮點數相差幾階。由小階轉向大階，具體操作是將數值部分右移一位, 此時階碼 +1。（這里面隱含着舍棄掉有效位的風險）
2. 尾數求和 對階后就好辦了，對階完相當於小數點位置確定，直接進行定點數的加減。
3. 規格化 規格化，浮點數的規格化通常采用雙符號位，前面我們已經說過雙符號位這個概念了。
符號位和最高位相同時需要左規，溢出時需要右規 采用雙符號位來計算
4. 舍入 在對階和右規的過程中，尾數的低位有效位位很可能移丟（因為是小轉大），這時候就會影響精度產生誤差（注意，產生誤差≠結果錯誤）。這樣的溢出我們稱為尾數溢出。因此必須對尾數進行舍入。常用的方法有：
- 恆置“1”法：無論右移舍去的是誰，都在末尾添加1
- 舍“0”入“1”法：右移過程中，尾數是0則舍去，是1，則尾數末尾加1.（存在尾數再次溢出的風險）
5. 溢出判斷 判斷浮點數的溢出，我們采用雙符號法，但是與定點數有一點不同：當尾數之和出現01.XXXXXX或者10.XXXXXX的時候，並不能直接下結論溢出，應當再右規一次，才能判斷是否真的溢出，且規后發現其階碼的符號位出現01或者10的時候，說明溢出
浮點數的加減運算（實例）
下面是一道2009年的408的考試真題：
我們先看看，首先第一步沒得說，先寫出X和Y的二進制表示（分數轉二進制很好轉，百度一下就行，有個百度經驗，用我們平時的同底數冪相除來算，很是方便），注意含有兩個符號位：
然后按步驟做題：
這一步我們發現這個時候X和Y的階碼已經相同（00，111）了。
這里注意，尾數右規是指尾數部分右規，那么尾數的符號位也是在尾數中的。
補充知識：
大端對齊與小端對齊
大端對齊模式：是指一個字節中的高位字節放在這個字節區域內的低地址處。
小端對齊模式：是指一個字節中的低位字節放在這個字節區域內的低地址處
將一個32位的16進制數0x12345678存放在內存中（機器按字節編址）
實際上，小端模式就是從后面往前面存儲的。
常用的進制轉換數及一些技巧
127 = 7FH = 0111 1111B
128 = 80H = 1000 0000B
255 = FFH = 1111 1111B
65535 = FFFFH = 1111 1111 1111 1111B
算大的數可以用16進制數方便計算，十進制轉二進制也可以轉換為16進制再轉換為2進制。
按邊界對齊
按邊界對齊？簡單的說，對於int型而言，起始地址為4的倍數；對於char類型而言，起始地址為任意字節皆可；對於short類型而言，起始地址為2的倍數；對於結構體而言，對齊方式為結構體內類型最大的字節量。
強制類型轉換
第一道題
分析：
算式顯然是 int = int +short 類型，一定存在強制類型轉換，那么short ->int 需要添加擴展位，注意，機器中的數用補碼表示的，所以結果用補碼運算。過程如下：
圖中虛線左邊的是16進制數，右邊是2進制數，由於答案是16進制數，我們便化為16進制數進行加減。
同時，特別注意，負數的補碼，是除了符號位以外取反后加1 正數的補碼等於原碼等於反碼
考點：強制類型轉換，碼制間的轉換運算
127原碼=127補碼=01111111=7F
-9原碼=10001001 -9補碼：11110110+1=11110111=F7
因為機器中數據是用補碼表示的，所以要用補碼計算
第二道題：
分析：短字節向長字節的轉換，高位的擴展位變為對應的符號位
65535為正數，高位補0
第三道題：
分析：無符號與有符號之間的相互轉換，主要看對符號位的解釋，將符號位當成符號就是有符號數，當成真值解釋就是無符號數。機器中用補碼表示數。
-32767二進制為：1111111111111111(二進制)補碼為1000000000000000+1=1000000000000001 表示為無符號數是32769
定點數基本運算及存儲方式
第一道題
分析：
這是一道表面考定點數補碼的乘法的問題，但是學過的都知道，乘法的計算太啰嗦了，而且要記憶的東西步驟也極為麻煩，所以出在考試大題不大可能，出現在選擇題更不可能，而這個題目，一開始就讓我們計算四個數分別相乘的組合。老老實實做，那么做完你也應該快考完了。所以換個角度，直接判斷是否溢出，將它們化為10進制真值，用結果看看能不能用8位表示。說白了還是考碼制之間的轉換。
考點 ：碼制間的轉換與運算，溢出判斷
第二道題
分析：關鍵詞按字節編址，按邊界對齊，小端方式。我們知道int是占用4個字節的，char1個字節，short為2個字節，加起來要7個字節，但是實際上是8個。因為它按邊界對齊。我們注意到，按順序short應該到D，但是D = 13，不是2的倍數，所以從E開始存儲。
所以過程如下：
第四道題
分析：如果直接死腦筋算的話，很是麻煩，看看有沒有好的辦法，二進制數對2的乘除，就是移位操作，乘上一個2，左移。除去一個2，右移。實在忘記了，就舉個10進制的例子：
2 X 10 = 20 //相當於將2左移一位
20/10 = 2 //相當於把20右移了一位。這樣就好辦了：
有符號數移位時，都是按照補碼的形式移位：
右移：最右邊的一位舍棄，最左邊補符號位。
左移：最左邊的一位舍棄，最右邊補0。
C
103二進制：01100111 -25二進制：10011001 103補碼：01100111 -25補碼：11100111 -y的補碼：11100111
A