動態規划基本問題（python實現）

一、背包問題

1、問題描述

2、引進動態規划表格來解釋問題

這個表格中   

背包容量：最大值是輸入給定，

物品編號：0、表示前0個物品最佳組合；

　　　　　1、表示前1個物品最佳組合；（所以這里是不是要求物品編號有一定的順序？？）

　　　　　2、表示前2個物品最佳組合；

空白格子：最佳組合所能產生的價值

 

3、往動態規划表中填入價值數據

　　a、物品編號為0，前0物品組合（沒有物品），不管背包容量多大，價值為0。

　　b、背包容量為0，沒有物品可以裝得下，價值為0

　　c、背包容量為1，物品編號為1：　　

　　　　　　　　　　　　　　　　（1）如果裝1號物品，價值改變；

　　　　　　　　　　　　　　　　（2）如果不裝1號物品，價值和前0號物品價值想同；

　　　　　　　　　　　　　　　　由於裝不下1號物品，所有只能選擇（2）

　　d、背包容量為2，物品編號為1：

　　　　（1）判斷當前背包容量能否裝下當前的物品； 能

　　　　（2）如果能：判斷裝下該物品后總價值    和   不裝該物品的總價值 那個更大

　　　　　　  如果不能：不裝該物品，總價值和前一行的總價值相等

 

　　d、背包容量為3，物品編號為2：（1）判斷當前背包容量能否裝下當前的物品； 能

　　　　　　　　　　　　　　　　  （2）如果能：判斷裝下該物品后總價值 (4)   和   不裝該物品的總價值 (3)   哪個更大

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　如果不能：不裝該物品，總價值和前一行的總價值相等

　　　　　　　　　　　　　　　　　　   最后，取總價值大的  4

　　e、其他空白依次類推，不做詳述。。。。

 

 代碼實現：

1、數據輸入：

n = int(input())
w = list(map(int,input().split()))
v = list(map(int,input().split()))
c = int(input())

"""
測試數據：
n = 4  物品的數量，
w = [2, 3, 4, 5] 每個物品的重量，
v = [3，4, 5, 6 ] 每個物品的價值，
c = 8 書包能承受的重量，
"""

2、動態規划表的繪制

value = [[0 for j in range(c + 1)] for i in range(n + 1)]  #構造一個dp表
for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, c + 1):
        if (w[i-1]>j):                                     #如果當前物品質量大於當前背包容量  
            value[i][j] = value[i-1][j]                    #不裝改物品，總價值和前一個總價值相等
        else:                                              #如果可以裝下該物品，比較 不裝該物品的價值 和 裝下該物品后的價值那個更大，取大值。
            value[i][j] = max(value[i-1][j],value[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1])
for x in value:
    print(x)                                                                                                

 4、背包問題回溯

 

 理解：根據動態規划表的構建，如果當前物品被放入背包中，則當前總價值大於前一行的總價值。

　　　 所以可以根據兩行總價值 來判斷 當前物品是否在背包中。

代碼實現：

print('最大價值為:', value[n][c])
x = [False for i in range(n)]
j = c
for i in range(n, 0, -1):
    if value[i][j] > value[i - 1][j]:  #判斷當前價值與前一行的價值
        x[i - 1] = True                #當前物品置一
        j -= w[i - 1]                  #背包容量里面減去相應的物品容量
print('背包中所裝物品為:')
for i in range(n):
    if x[i]:
        print('第', i+1, '個,', end='')