(2014天津)已知函數$f(x)=x-ae^x(a\in R)$,有兩個零點$x_1,x_2,(x_1<x_2)$
(1)求$a$的取值范圍;
(2)證明:$\dfrac{x_2}{x_1}$隨着$a$的減小而增大;
(3)證明:$x_1+x_2$隨着$a$的減小而增大.
分析:(1)(2)可以通過參變分離研究$y=\dfrac{x}{e^x}$ 的圖像,(如圖)易得.
(3)由題意可知$\ln x_1=x_1+\ln a,\ln x_2=x_2+\ln a$相減得$\ln\dfrac{x_2}{x_1}=x_2-x_1$
故齊次化得
\begin{align*}
x_1+x_2 & =\dfrac{\ln\dfrac{x_2}{x_1}}{x_2-x_1}(x_1+x_2) \\
&\xlongequal{\rm \frac{x_2}{x_1}=t>1}\dfrac{(1+t)\ln t}{t-1}=g(t)\\
\end{align*}
$g^{'}(t)=\dfrac{-2\ln t+t-\frac{1}{t}}{(t-1)^2}\ge\dfrac{-2*\frac{t-1}{\sqrt{t}}+t-\frac{1}{t}}{(t-1)^2}=\dfrac{(\sqrt{t}-1)^2}{t(t-1)}\ge0$
(這里用到了放縮$\ln x\le \dfrac{x-1}{\sqrt{x}})$
故$x_1+x_2$隨$t$的增大而增大,結合(2)知$x_1+x_2$隨$a$的減小而增大