DIJ算法的堆優化
DIJ算法的時間復雜度是\(O(n^2)\)的，在一些題目中，這個復雜度顯然不滿足要求。所以我們需要繼續探討DIJ算法的優化方式。
堆優化的原理
堆優化，顧名思義，就是用堆進行優化。我們通過學習朴素DIJ算法，明白DIJ算法的實現需要從頭到尾掃一遍點找出最小的點然后進行松弛。這個掃描操作就是坑害朴素DIJ算法時間復雜度的罪魁禍首。所以我們使用小根堆，用優先隊列來維護這個“最小的點”。從而大大減少DIJ算法的時間復雜度。
堆優化的代碼實現
說起來容易，做起來難。
我們明白了上述的大體思路之后，就可以動手寫這個代碼，但是我們發現這個代碼有很多細節問題沒有處理。
首先，我們需要往優先隊列中push最短路長度，但是它一旦入隊，就會被優先隊列自動維護離開原來的位置，換言之，我們無法再把它與它原來的點對應上，也就是說沒有辦法形成點的編號到點權的映射。
我們用pair解決這個問題。
pair是C++自帶的二元組。我們可以把它理解成一個有兩個元素的結構體。更刺激的是，這個二元組有自帶的排序方式：以第一關鍵字為關鍵字，再以第二關鍵字為關鍵字進行排序。所以，我們用二元組的first位存距離，second位存編號即可。
然后我們發現裸的優先隊列其實是大根堆，我們如何讓它變成小根堆呢？
有兩種方法，第一種是把第一關鍵字取相反數，取出來的時候再取相反數。第二種是重新定義優先隊列：
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q;
解決了這些問題，我們愉快地繼續往下寫，后來我們發現，寫到松弛的時候，我們很顯然要把松弛后的新值也壓入優先隊列中去，這樣的話，我們又發現一個問題：優先隊列中已經存在一個同樣編號的二元組（即第二關鍵字相同），我們沒有辦法刪去它，也沒有辦法更新它。那么在我們的隊列和程序運行的時候，一定會出現bug。
怎么辦呢？？
我們在進入循環的時候就開始判斷：如果有和堆頂重復的二元組，就直接pop掉，成功維護了優先隊列元素的不重復。
所以我們得到了堆優化的代碼：
priority_queue<pair<int,int> >q;
void dijkstra(int start)
{
memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
memset(v,0,sizeof(v));
dist[start]=0;
q.push(make_pair(0,start));
while(!q.empty())
{
while(!q.empty() && (-q.top().first)>dist[q.top().second])
q.pop();
if(!q.empty())
return;
int x=q.top().second;
q.pop();
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int y=to[i];
if(dist[y]>dist[x]+val[i])
{
dist[y]=dist[x]+val[i];
q.push(make_pair(-dist[y],y));
}
}
}
}