00 前言
各位小伙伴大家好，相信大家已經看過前面column generation求解vehicle routing problems的過程詳解。該問題中，子問題主要是找到一條reduced cost最小的合法路徑，然后加入到Master Problem中。其實，子問題也是一個著名的NP-Hard問題，今天我們就來介紹一下。
01 ESPPRC
考慮圖1.1中描述的網絡。 除了每條邊的成本c_ij之外，還存在經過邊（i，j）的所消耗的資源t_ij，比如時間。 我們的目標是找到從開始節點到結束節點的最短路徑，每個節點只能訪問一次，同時使得資源消耗滿足可用的資源約束，比如全程不能超過多少時間。[1]
當然上面描述問題只是ESPPRC中的一個例子，實際的資源約束可能有很多種，比如在VRPTW的子問題中：[2]
起始節點和結束節點一樣，每個節點有固定的時間窗和固定的需求。車輛不能超過容量約束的要求等等。
ESPPRC vs SPPRC
SPPRC和ESPPRC一樣，只不過SPPRC去掉了elementary的約束，允許最短路中一個節點被訪問多次。
02 應用
我們知道，ESPPRC是可以應用在column generation中的算法框架中的。那么具體是怎么應用的呢？我們知道，在column generation中，subproblem每次迭代就是找一條reduced cost最小的路徑，然后加入到Master Problem中。但是對於ESPPRC來說，每次的cost一樣的，那不每次都求出同一條路徑嗎？？？
不！在column generation中，其子問題ESPPRC中邊的cost是會隨着Master Problem的求得到對偶變量改變而改變的。還記得reduced cost是怎么計算的嗎？
其中，式子(22)可以表達成式子(23)，(23)是什么意思呢？b_ijk意思是邊ij是否在路徑k中。那么，在每一次迭代中，我們就可以利用Master Problem的對偶變量，來更新ESPPRC中每條邊的cost，最終求得的路徑cost就是column generation中的reduced cost。
03 常見的算法
ESPPRC的建模如下：[4]
求解SPPRC和ESPPRC常見的算法主要有以下幾種：[3]
- Dynamic programming and labeling algorithms
- Lagrangean relaxation
- Constraint programming(建模)
- Heuristics
04 Pulse Algorithm
這一節介紹一個ESPPRC的精確算法Pulse Algorithm[5]，算法的偽代碼如下：
其中：
- r：表示到達當前節點時的cost
- q：表示到達當前節點時的裝載量
- t：表示到達當前節點所需的總時間，早到需要等待，不能晚到
大體的思想是通過bound算法確定到達每個節點的最低cost，然后pulse進行路徑搜索，而之前bound求出來的最低cost就可以在pulse搜索的過程中起到定界的作用，去掉一些不好的路徑。
bound的算法如下：
每個節點的最低cost（相當於一個lower bound）是怎么算出來的呢？簡單來說是通過限定每個節點最晚到達時間。在每個節點都給定最晚到達時間t，然后計算在這個最晚到達時間下，每個到達每個節點的最低cost。然后讓t遞減，直到t減少到臨界值。最終得到的是每個節點關於各個最晚到達時間的最低cost矩陣。
最后來看看pulse算法：
pulse是找路的過程，在該過程中：
- isFeasible檢查到達節點時路徑是否滿足各種資源約束。
- checkBounds檢查在當前到達時間下，到達節點的cost是否小於等於之前bound算法求出來的那個最晚時間下的最低cost，如果不是就丟棄該支路徑。
- rollback進行如下檢查：
在每一個節點（開始節點除外），比如上圖中節點j，如果實線路徑的cost < 虛線路徑的cost。那么砍掉實線的路徑（已經有人的cost比你更低，你可以滾了），這就相當於一個回滾的操作。
以上>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>就是整個pulse算法。這里只是起到一個拋磚引玉的過程。可能講的不是很詳細，詳細的過程請大家去閱讀文獻。
05 算法代碼
關於整個pulse算法偽代碼和講解已經夠詳細了，這里給出一個C++的實現代碼，是我遠房的一個學長的學姐的男朋友寫的（真話）。關於編譯運行上面也說明得夠詳細了。
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reference
- [1] A PRIMER IN COLUMN GENERATION, Jacques Desrosiers Marco E. L ubbecke
- [2] A tutorial on column generation and branch-and-price for vehicle routing problems, Dominique Feillet
- [3] SHORTEST PATH PROBLEMS WITH RESOURCE CONSTRAINTS, Stefan Irnich Guy Desaulniers
- [4] An Exact Algorithm for the Elementary Shortest Path Problem with Resource Constraints: Application to Some Vehicle Routing Problems, Dominique Feillet, Pierre Dejax, Michel Gendreau, Cyrille Gueguen
- [5] An Exact Algorithm for the Elementary Shortest Path Problem with Resource Constraints, Leonardo Lozano, Daniel Duque, Andrés L. Medaglia