PCA(主成分分析)原理,步驟詳解以及應用

主成分分析(PCA, Principal Component Analysis)

• 一個非監督的機器學習算法
• 主要用於數據的降維處理
• 通過降維,可以發現更便於人類理解的特征
• 其他應用:數據可視化,去噪等

 

主成分分析是盡可能地忠實再現原始重要信息的數據降維方法

 

原理推導:

如圖,有一個二維的數據集,其特征分布於特征1和2兩個方向

 現在希望對數據進行降維處理,將數據壓縮到一維,直觀的我們可以想到將特征一或者特征二舍棄一個,可以得到這樣的結果

　　　　　　　　------- : 舍棄特征1之后

　　　　　　　　------- : 舍棄特征2之后

 

可以看出,舍棄特征2保留特征1是一個較好的降維方案,此時點和點之間距離較大,擁有更高的可區分度

此時我們要想,肯定會有比這更好的方案,畢竟這太簡單了

 

我們想象一下,能夠找到這樣的一條斜線w,將數據降維到w上(映射到w上)之后,能最好的保留原來的分布特征,且這些點分布在了一個軸上(斜線w)后點和點之間的距離也比之前的兩種方案更加的大,此時的區分度也更加明顯

 

思考:

1. 如何找到讓這個樣本降維后間距最大的軸?
2. 如何定義樣本間距?

 

在統計學中,有一個直接的指標可以表示樣本間的間距,那就是方差(Variance)

 

 這樣回過頭來看思考1,問題就變成了:

找到一個軸,使得樣本空間的所有點映射到這個軸之后,方差最大

 

求解這個軸的過程

將樣例的均值歸為0(demean)

　　將全部樣本都減去樣本的均值,可以將樣本轉化為這種:

　　

　　

　　經過demean后,在各個維度均值均為0,我們可以推出:

　　

　　方便我們進行計算

我們想要求w軸的方向(w₁,w₂),使得  Var(X_project) 最大,X_project 是映射到w軸之后的X的坐標

　　　　

因為我們已經進行了demean操作,均值為0,所以此時

　　

而  ||X_project⁽ⁱ⁾||² 的實際長度就是下圖中藍色向量的長度

　　

實際上,求把一個向量映射到另一個向量上的對應映射的長度,就是線性代數中點乘的操作

　　

此時w是一個方向向量,||w|| = 1,所以可以化簡成:

　　

且因為前面已經推知

　　

通過替換,我們就得到了:

　　

而我們的目標,就是求w,使得Var(X_project) 最大

對公式進行拆分

　　

再化簡:

　　

至此,我們的主成分分析法就化簡成了一個目標函數最優化問題,因為是求最大值,可以使用梯度上升法解決

 

使用梯度上升法求解PCA

目標: 求w,使得 最大

 

f(X)的梯度

　　

　　　　　　　　　　　　

此時再觀察,可以將式子展開能夠得到這樣的結果:

　　

再化簡,可得:

　　原式 = 

　　　　 = 

最后就得出結論:

　　　

那么,求出第一個主成分之后,如何求出下一個主成分呢?

 

數據進行改變,將數據在第一主成分上的分量去掉,如圖

Xpr⁽ⁱ⁾ 是第一主成分,原數據去掉第一主成分之后可以得到

　　

再在 X'⁽ⁱ⁾ 上求第一主成分即可求出原數據的第二主成分,以此類推..

 

代碼實現

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成測試數據
X = np.empty((100, 2))
X[:, 0] = np.random.uniform(0., 100., size=100)
X[:, 1] = 0.75 * X[:, 0]+ 3. + np.random.normal(0, 10., size=100)

#  均值歸零方法
def demean(X):
    return X - np.mean(X, axis=0)

X_demean = demean(X)

#  梯度上升法
def f(w, X):
    return np.sum((X.dot(w)**2)) / len(X)
def df(w, X):
    return X.T.dot(X.dot(w)) * 2. / len(X)

#  將w轉化為單位向量,方便計算
def direction(w):
    return w / np.linalg.norm(w)

#求第一主成分
def first_component(X, initial_w, eta, n_iters = 1e4, epsilon = 1e-8):
    
    w = direction(initial_w)
    cur_iter = 0
    
    while cur_iter < n_iters:
        gradient = df(w, X)
        last_w = w
        w = w + eta * gradient
        w = direction(w)  # 每次求一個單位方向
        if abs(f(w, X) - f(last_w, X)) < epsilon:
            break
        
        cur_iter += 1
    return w

initial_w = np.random.random(X.shape[1]) # 不能從零開始

eta = 0.01

def first_n_component(n, X, eta=0.01, n_iters = 1e4, espilon = 1e-8):
    X_pca = X.copy()
    X_pca = demean(X_pca)
    res = []
    for i in range(n):
        initial_w = np.random.random(X_pca.shape[1])
        w = first_component(X_pca, initial_w, eta)
        res.append(w)
        
        X_pca = X_pca - X_pca.dot(w).reshape(-1, 1)
        X_pca = X_pca * w
    return res

# 注意 不能使用StandardScaler標准化數據 這樣會打掉樣本間的方差 求不出想要的結果

res = first_n_component(2, X)