主成分分析法（PCA）原理和步驟
主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一種多變量統計方法，它是最常用的降維方法之一，通過正交變換將一組可能存在相關性的變量數據，轉換為一組線性不相關的變量，轉換后的變量被稱為主成分。
可以使用兩種方法進行 PCA，分別是特征分解或奇異值分解（SVD）。
准備工作
PCA 將 n 維輸入數據縮減為 r 維，其中 r<n。簡單地說，PCA 實質上是一個基變換，使得變換后的數據有最大的方差，也就是通過對坐標軸的旋轉和坐標原點的平移，使得其中一個軸（主軸）與數據點之間的方差最小，坐標轉換后去掉高方差的正交軸，得到降維數據集。
這里使用 SVD 方法進行 PCA 降維，假定有 p×n 維數據樣本 X，共有 p 個樣本，每行是 n 維，p×n 實矩陣可以分解為：
這里，正交陣 U 的維數是 p×n，正交陣 V 的維數是 n×n（正交陣滿足：UUT=VTV=1），Σ 是 n×n 的對角陣。接下來，將 Σ 分割成 r 列，記作 Σr；利用 U 和 V 便能夠得到降維數據點 Yr：
具體做法
- 導入所需的模塊，除了 TensorFlow，還需要 numpy 進行基本的矩陣計算，用 matplotlib、mpl_toolkit 和 seaborn 繪制圖形：
- 加載數據集，此處使用常用的 MNIST 數據集：
- 定義類 TF_PCA，此類初始化如下：
- 定義 fit 函數，計算輸入數據的 SVD。定義計算圖，以此計算奇異值和正交矩陣 U，self._X 以占位符的形式讀入數據 self.data，tf.svd 以遞減順序返回形狀為 [...，p] 的奇異值 s（singular_values），然后使用 tf.diag 將奇異值轉換為對角矩陣：
- 現在有了 sigma 矩陣、正交矩陣 U 和奇異值，下面定義 reduce 函數來計算降維數據。該方法需要 n_dimensions 和 keep_info 兩個輸入參數之一，n_dimensions 參數表示在降維數據中保持的維數，keep_info 參數表示保留信息的百分比（0.8意味着保持 80% 的原始數據）。該方法創建一個計算圖，對 sigma 矩陣進行分割並計算降維數據集 YrTF_PCA 類已經准備就緒，下面會將 MNIST 的每個輸入數據從維度為 784（28×28）減小到每個維度為 3。在這里為了對比效果只保留了 10% 的信息，但通常情況下需要保留大約 80% 的信息：TF_PCA 類已經准備就緒，下面會將 MNIST 的每個輸入數據從維度為 784（28×28）減小到每個維度為 3。在這里為了對比效果只保留了 10% 的信息，但通常情況下需要保留大約 80% 的信息：
- TF_PCA 類已經准備就緒，下面會將 MNIST 的每個輸入數據從維度為 784（28×28）減小到每個維度為 3。在這里為了對比效果只保留了 10% 的信息，但通常情況下需要保留大約 80% 的信息：
代碼輸出如下：
- 繪制三維空間中的 55000 個數據點：
解讀分析
前面的代碼對 MNIST 圖像進行了降維操作。原圖的大小為 28×28，利用 PCA 方法把尺寸壓縮得更小。通常在圖像處理中經常用到降維操作，因為太大的圖像尺寸包含大量的冗余數據。
TensorFlow 中的 embeddings 技術可以實現從對象到向量的映射，TensorBoard 中的 Embedding Projector 可以交互式地對模型的 embeddings 進行可視化，並提供了三種降維的方法：PCA、t-SNE 和自定義方式，可以使用 Embeddings Projector 來得到與上面類似的結果。
這需要從 tensorflow.contrib.tensorboard.plugins 中導入 projector，並且通過簡單的三個步驟就可以完成：
- 加載數據：
- 新建一個 metadata 文件（用制表符分隔的 .tsv 文件）：
- 將 embeddings 保存在 Log_DIR 中：
現在就可以使用 TensorBoard 查看 embeddings 了，通過命令行 tensorboard--logdir=log，在 Web 瀏覽器中打開 TensorBoard，然后進入 EMBEDDINGS 選項卡。下圖顯示的就是使用 PCA 方法運算的前三個主成分為軸的 TensorBoard 投影：
