【轉】博弈-翻硬幣游戲
翻硬幣游戲
一般的翻硬幣游戲的規則是這樣的：
N 枚硬幣排成一排，有的正面朝上，有的反面朝上。我們從左開始對硬幣按1 到N 編號。
第一，游戲者根據某些約束翻硬幣，但他所翻動的硬幣中，最右邊那個硬幣的必須是從正面翻到反面。例如，只能翻3個硬幣的情況，那么第三個硬幣必須是從正面翻到反面。如果局面是正正反，那就不能翻硬幣了，因為第三個是反的。
第二，誰不能翻誰輸。
有這樣的結論：局面的SG 值為局面中每個正面朝上的棋子單一存在時的SG 值的異或和。即一個有k個硬幣朝上，朝上硬幣位置分布在的翻硬幣游戲中，SG值是等於k個獨立的開始時只有一個硬幣朝上的翻硬幣游戲的SG值異或和。比如THHTTH這個游戲中，2號、3號、6號位是朝上的，它等價於TH、TTH、TTTTTH三個游戲和，即sg[THHTTH]=sg[TH]^sg[TTH]^sg[TTTTTH].我們的重點就可以放在單個硬幣朝上時的SG值的求法。
約束條件一：每次只能翻一個硬幣。
一般規則中，所翻硬幣的最右邊必須是從正面翻到反面，因為這題是只能翻一個硬幣，那么這個硬幣就是最右邊的硬幣，所以，每次操作是挑選一個正面的硬幣翻成背面。
對於任意一個正面的硬幣，SG值為1。
有奇數個正面硬幣，局面的SG值==1，先手必勝，有偶數個正面硬幣，局面的SG值==0，先手必敗。
約束條件二：每次能翻轉一個或兩個硬幣。(不用連續)
每個硬幣的SG值為它的編號，初始編號為0，與NIM游戲是一樣的。
如果對於一個局面，把正面硬幣的SG值異或起來不等於0，既a1^a2^a3^…^an==x,對於an來說一定有an'=an^x<an。
如果an'==0，意思就是說，把an這個值從式子中去掉就可以了。對應游戲，就是把編號為an的正面硬幣翻成背面就可以了。因為an^x==0，而a1^a2^a3^…^an==x，即an^a1^a2^a3^…^an==0，即a1^a2^a3^…^an-1==0，只要在原來的x里面去掉an就可以了。
如果an'!=0，意思就是說，把an這個值從式子中去掉后再在式子中加上an'，an'<an。對應游戲，去掉an就是把編號為an的正面硬幣翻成背面，加上an'，如果編號為an'的硬幣是正面，我們就把它翻成背面，是背面就翻成正面，總之，就是翻轉編號為an'的硬幣。因為an^x!=0，所以an^a1^a2^a3^…^an!=0，即a1^a2^a3^…^an-1!=0，而這里的
an'=a1^a2^a3^…^an-1，所以在x中去掉an后，要對an'進行異或，也就是翻轉，正轉反，反轉正。
約束條件三：每次必須連續翻轉k個硬幣。
我們以k==3為例。
我們計算的是個數為N的硬幣中，其中最后一個硬幣為正面朝上,的sg值。
當N==1時，硬幣為：正，先手必輸，所以sg[1]=0。
當N==2時，硬幣為：反正，先手必輸，所以sg[2]=0。
當N==3時，硬幣為：反反正，先手必勝，所以sg[3]=1。
當N==4時，硬幣為：反反反正，先手操作后為：反正正反，子狀態局面的SG=0^1=1，那么sg[4]=0。
當N==5時，硬幣為：反反反反正，先手操作后為：反反正正反，子狀態局面的SG=1^0=1，那么sg[5]=0。
當N==6時，硬幣為：反反反反反正，先手操作后為：反反反正正反，子狀態局面的SG=0^0=0，那么sg[6]=1。
根據觀察，可以知道，從編號為1開始，sg值為：001 001 001 001……
根據觀察，可以知道，sg的形式為000…01 000…01，其中一小段0的個數為k-1。
約束條件4：每次翻動一個硬幣后，必須翻動其左側最近三個硬幣中的一個，即翻動第x個硬幣后，必須選擇x-1，x-2，x-3中的其中一個硬幣進行翻動，除非x是小於等於3的。（Subtraction Games）
當N==1時，硬幣為：正，先手必贏，所以sg[1]=1。
當N==2時，硬幣為：反正，先手必贏，因為先手可以翻成反反或正反，可能性為2，所以sg[2]==2。
當N==3時，硬幣為：反反正，先手操作后可以為：反正
位置x：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...
sg[x]： 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2…
這個與每次最多只能取3個石子的取石子游戲的SG分布一樣，同樣還有相似的這類游戲，約束條件5也是一樣。
約束條件5：每次必須翻動兩個硬幣，而且這兩個硬幣的距離要在可行集S={1,2,3}中，硬幣序號從0開始。(Twins游戲)
當N==1時，硬幣為：正，先手必輸，所以sg[0]=0。
當N==2時，硬幣為：反正，先手必贏，所以sg[1]=1。
當N==3時，硬幣為：反反正，先手必贏，所以sg[2]=2。
當N==4時，硬幣為：反反反正，先手必贏，所以sg[3]=3。
當N==5時，硬幣為：反反反反正，先手必輸，所以sg[4]=0。
位置x：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...
sg[x]： 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2…
約束條件6：每次可以翻動一個、二個或三個硬幣。（Mock Turtles游戲）
初始編號從0開始。
當N==1時，硬幣為：正，先手必勝，所以sg[0]=1.
當N==2時，硬幣為：反正，先手必贏，先手操作后可能為：反反或正反，方案數為2，所以sg[1]=2。
當N==3時，硬幣為：反反正，先手必贏，先手操作后可能為：反反反、反正反、正反正、正正反，方案數為4，所以sg[2]=4。
位置x：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...
sg[x]： 1 2 4 7 8 11 13 14 16 19 21 22 25 26 28…
看上去sg值為2x或者2x+1。我們稱一個非負整數為odious，當且僅當該數的二進制形式的1出現的次數是奇數，否則稱作evil。所以1，2，4，7是odious因為它們的二進制形式是1,10,100,111.而0,3,5,6是evil，因為它們的二進制形式是0,11,101,110。而上面那個表中，貌似sg值都是odious數。所以當2x為odious時，sg值是2x，當2x是evil時，sg值是2x+1.
這樣怎么證明呢？我們會發現發現，
evil^evil=odious^odious=evil
evil^odious=odious^evil=odious
假設剛才的假說是成立的，我們想證明下一個sg值為下一個odious數。注意到我們總能夠在第x位置翻轉硬幣到達sg為0的情況；通過翻轉第x位置的硬幣和兩個其它硬幣，我們可以移動到所有較小的evil數，因為每個非零的evil數都可以由兩個odious數異或得到；但是我們不能移動到下一個odious數，因為任何兩個odious數的異或都是evil數。
假設在一個Mock Turtles游戲中的首正硬幣位置x1,x2,…,xn是個P局面，即sg[x1]^…^sg[xn]=0.那么無可置疑的是n必定是偶數，因為奇數個odious數的異或是odious數，不可能等於0。而由上面可知sg[x]是2x或者2x+1，sg[x]又是偶數個，那么x1^x2^…^xn=0。相反，如果x1^x2^…^xn=0且n是偶數，那么sg[x1]^…^sg[xn]=0。這個如果不太理解的話，我們可以先這么看下。2x在二進制當中相當於把x全部左移一位，然后補零，比如說2的二進制是10，那么4的二進制就是100。而2x+1在二進制當中相當於把x全部左移一位，然后補1，比如說2的二進制是10，5的二進制是101。現在看下sg[x1]^…^sg[xn]=0，因為sg[x]是2x或者2x+1，所以式子中的2x+1必須是偶數個（因為2x的最后一位都是0,2x+1的最后一位都是1，要最后異或為0,2x+1必須出現偶數次）。實際上的情況可能是這樣的:
MT游戲當中的P局面是擁有偶數堆石子的Nim游戲的P局面。
約束條件7：每次可以連續翻動任意個硬幣，至少翻一個。（Ruler游戲）
初始編號從1開始。
那么這個游戲的SG函數是g(n)=mex{0,g(n-1),g(n-1)^g(n-2),…,g(n-1)^…^g(1)}
根據SG函數可以得到SG值表如下。
位置x：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16...
g(x): 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16…
所以sg值為x的因數當中2的能達到的最大次冪。比如14=2*7，最大1次冪，即2；16=2*2*2*2，最大4次冪，即16。
這個游戲成為尺子游戲是因為SG函數很像尺子上的刻度。
約束條件8：每次必須翻轉4個對稱的硬幣，最左與最右的硬幣都必須是從正翻到反。（開始的時候兩端都是正面）（Grunt游戲）
這是Grundy游戲的變種，初始編號從0開始。
當首正硬幣位置為0,1,2時是terminal局面，即 終結局面，sg值都是0。當首正硬幣位置n大於等於3的時候的局面可以通過翻0,x,n-x,n四個位置得到(其中x<n/2可保證勝利)。
這就像是把一堆石子分成兩堆不同大小石子的游戲，也就是Grundy游戲。
附注：