並查集與帶權並查集---由淺入深

並查集 

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 基本概念

​ 並查集，在一些有N個元素的集合應用問題中，我們通常是在開始時讓每個元素構成一個單元素的集合，然后按一定順序將屬於同一組的元素所在的集合合並，其間要反復查找一個元素在哪個集合中。

​ 並查集是一種樹型的數據結構，用於處理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合並及查詢問題。常常在使用中以森林來表示。

實現原理

​ 通過更新維護父親節點使得，合並后的集合最終擁有同一個點根節點，擁有相同根節點即為同類。

• Search 查找自己的根節點；(紅圈標記為根節點)

　　

• Merge 合並兩個節點在一個集合；(假設尋找合並節點5和2)

　　

• 壓縮路徑；壓縮路徑可以使得在多次查詢時，查詢時間得到優化，具體過程是優化其結構，使得查詢點的父親節點為根節點。(上圖壓縮路徑后得到)  

　　

代碼實現

void init(){  // 初始化自己祖先就是自己
    for(int i = 1 ; i<= n; i++){
        pre[i] = i;
    }
}

int Search(int x){  // 遞歸尋找自己的祖先
    return x == pre[x] ? x : pre[x] = Search(pre[x]);
}

void Merge(int x, int y){ // 合並兩個節點
    int fx = Search(x);
    int fy = Search(y);
    if(fx != fy)  pre[fx] = fy; // 把x合並到y即把x祖先設置為y的祖先
}

帶權並查集

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基本概念

​ 帶權並查集即是結點存有權值信息的並查集；當兩個元素之間的關系可以量化，並且關系可以合並時，可以使用帶權並查集來維護元素之間的關系；帶權並查集每個元素的權通常描述其與並查集中祖先的關系，這種關系如何合並，路徑壓縮時就如何壓縮；帶權並查集可以推算集合內點的關系，而一般並查集只能判斷屬於某個集合。

經典例題

食物鏈（FJUTOJ2022 & POJ1182）

傳送門：FJUTOJ2022 && POJ1182

題意：

動物王國中有三類動物A,B,C，A吃B， B吃C，C吃A。
現有N個動物，以1－N編號。每個動物都是A,B,C中的一種，但是我們並不知道它到底是哪一種。
用兩種說法對這N個動物所構成的食物鏈關系進行描述：

• "1 X Y"，表示X和Y是同類。
• "2 X Y"，表示X吃Y。

給出K句話，有些是真的，有些是假的，滿足下列任一條件即為假話，否則是真話：
1） 當前的話與前面的某些真的話沖突，就是假話；
2） 當前的話中X或Y比N大，就是假話；
3） 當前的話表示X吃X，就是假話。

輸出假話的數量；

解題思路：

​ 這個題目需要維護推算集合內部的關系，所以可以利用帶權並查集解決。

​ 創建利用pre數組和rela數組判斷集合關系，pre判斷集合之間的關系，rela判斷集合內部元素的關系，這題我們可以建立三種關系同類，捕食，和被捕食三種關系，我們在rela數組中分別用0，1，2表示：

1.  0表示和根節點是同類關系
2.  1表示和跟節點是捕食關系(吃根節點)
3.  2表示和根節點是被捕食關系(被根節點吃)

​ 確定表示了三種關系表示，剩下是需要維護的關系，我們需要維護些什么關系呢？

​ 首先是合並考慮壓縮路徑時的關系維護，我們壓縮路徑時已知B和A的關系，以及A和A根節點的關系，需要推導出B和A根節點的關系，如圖是我們橙色線是我們要推導出的關系，黑色線是以知關系。

　　

我們列舉所有情況在表格中來看，是否存在某種關系。

結點A與根關系	結點B與A關系	B與根關系
0	0	0
0	1	1
0	2	2
1	0	1
1	1	2
1	2	0
2	0	2
2	1	0
2	2	1

從表格中我們顯然可以得到關系` rela[b] = (rela[a] + rela[b]) % 3`壓縮路徑關系的代碼如下。

int Find(int x){   // 查找當前結點的根節點
    if(x == pre[x]) return x;
    else{       // 壓縮路徑
        int temp = pre[x];
        pre[x] = Find(pre[x]); // 遞歸尋找頭根點,壓縮路徑節點
        rela[x] = (rela[x] + rela[temp]) % 3; // 壓縮路徑關系
    }
    return pre[x];
}

​ 然后我們考慮關系的查找，我們以及知道A和B在同一集合，即代表他們根節點相同，我們要確定兩者之間的關系，我們還是線畫出關系圖，橙色線是我們要推導出的關系，黑色線是以知關系。

　　

我們同樣在表格中寫出對應關系

從表格中可以得到關系`relation[a->b] = (rela[a] - rela[b]) % 3`,減法可能會產生負數，所以要先+3再進行取模，查找關系的代碼如下

if(Find(x) == Find(y)){ // 如果兩個根節點相同
        relation = (rela[x] - rela[y] + 3) % 3; // 推出兩個根節點之間的關系
        return relation == r; // 判斷給出關系是否與已經存在的關系矛盾
}

結點A與根關系	結點B與根關系	A與B關系
0	0	0
0	1	2
0	2	1
1	0	1
1	1	0
1	2	2
2	0	2
2	1	1
2	2	0

​ 最后我們考慮合並兩個節點時關系的維護，我們已經知a和其根節點的關系，以及b和其根節點的關系，當我們把b集合合並到a集合時，我們需要考慮b根節點和a根節點存在的關系，關系圖如下，橙色線是我們要推導出的關系，黑色線是以知關系。

　　

關系表如下

結點A與根關系	結點B與根關系	結點B與A的關系	B根節點和A根節點的關系
0	0	0	0
0	0	1	1
0	0	2	2
0	1	0	2
0	1	1	0
0	1	2	1
0	2	0	1
0	2	1	2
0	2	2	0

上面這個表並沒有列出所有情況，但是我們已經可以從表格中可以得到關系`relation[pre[b]->prea[a]] = (rela[a] - rela[b] + relation[b -> a]) % 3`合並關系的代碼如下

void Merge(int x, int y, int r){ // 合並兩個節點關系
    int fx = Find(x);  // 查找 x,y的根節點
    int fy = Find(y);

    if(fx != fy){  //如根節點不同進行合並
        pre[fx] = fy;   //把x節點集合合並到y
        rela[fx] = (rela[y] - rela[x] + r + 3) % 3; //計算x頭節點與y頭節點的關系
    }
}

AC代碼

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <string>
#include <list>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <stack>
#include <algorithm>
#include <functional>
#define pr pair<int,LL>
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=a;i>=n;i--)
#define mem(ar,num) memset(ar,num,sizeof(ar))
#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const int    prime = 999983;
const int    INF = 0x7FFFFFFF;
const LL     INFF =0x7FFFFFFFFFFFFFFF;
const double pi = acos(-1.0);
const double inf = 1e18;
const double eps = 1e-6;
const LL     mod = 1e9 + 7;
const int    maxn = 5e5 + 7;
const int    maxm = 4e6 + 7;


inline int read () {   //讀入優化
    int X = 0, w = 1; char ch = 0;
    while(ch < '-') { if(ch == '-') w = -1; ch = getchar(); }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') X = (X << 3) + (X << 1) + ch - '0', ch = getchar();
    return X * w;
}

int pre[maxn],rela[maxn];
int n, k, ans;

void init() // 初始化
{
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        pre[i] = i; // 頭節點等於自己本身
        rela[i] = 0; // 自己和自己肯定是同類
    }
    ans = 0; //記錄假話數量
}

int Find(int x){   // 查找當前結點的根節點
    if(x == pre[x]) return x;
    else{       // 壓縮路徑
        int temp = pre[x];
        pre[x] = Find(pre[x]); // 遞歸尋找根節點,壓縮路徑節點
        rela[x] = (rela[x] + rela[temp]) % 3; // 壓縮路徑關系
    }
    return pre[x];
}

void Merge(int x, int y, int r){ // 合並兩個節點關系
    int fx = Find(x);  // 查找 x,y的根節點
    int fy = Find(y);

    if(fx != fy){  //如根節點不同進行合並
        pre[fx] = fy;   //把x節點集合合並到y
        rela[fx] = (rela[y] - rela[x] + r + 3) % 3; //計算x頭節點與y頭節點的關系
    }

}

bool solve(int x,int y,int r){ // 判斷真話假話
    int relation;
    if(x > n||y > n||(r == 1&&x == y)){ // 根據題意直接判斷的假話
            return false;
    }
    if(Find(x) == Find(y)){ // 如果兩個根節點相同
        relation = (rela[x] - rela[y] + 3) % 3; // 推出兩個根節點之間的關系
        return relation == r; // 判斷給出關系是否與已經存在的關系矛盾
    }
    else
        return true; //否則為真
}
/// 0 表示與根節點是同類
/// 1 表示與根節點是捕食關系
/// 2 表示與根節點是被捕食關系
int main()
{
    n = read();
    k = read();
    init();
    int c, x, y;
    while(k--){
        c = read();
        x = read();
        y = read();
        c --;
        if(solve(x,y,c)){
            Merge(x,y,c); //真話合並兩個節點關系
        }else{
            ans++; //假話答案自增
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

我在剛學習帶權並查集時看的是這位大佬的博客，大家也可以進行參考：帶權並查集

第一次寫博客，以上是我的一些個人理解，如有錯誤麻煩各位大佬指正。