樹狀數組可以解決什么樣的問題：
這里通過一個簡單的題目展開介紹，先輸入一個長度為n的數組，然后我們有如下兩種操作：
- 輸入一個數m，輸出數組中下標1~m的前綴和
- 對某個指定下標的數進行值的修改
多次執行上述兩種操作
尋常方法
對於一個的數組，如果需要求1~m的前綴和我們可以將其從下標1開始對m個數進行求和，對於n次操作，時間復雜度是O(n^2)，對於值的修改，我們可以直接通過下標找到要修改的數，n次操作時間復雜度為O(n)，在數組n開得比較大的時候，求前綴和的效率顯得低了
- 那么有人提出了一種優化的方式：
初始我們用一個數組A的保存每個位置的初始值，然后用一個輔助數組B存放的是下標為i的時候A數組的前i個的和（前綴和），那么當我們需要查詢m個數的前綴和的時候只要直接使用下標對B數組進行查詢即可，n次查詢，時間復雜度為O(n)，而此時，對於單點更新值的維護消耗，由原來的O(n)變成了O(n^2)，因為每一次與更新單點值都會對后面的已經計算好的B數組前綴和的值造成影響，需要不斷更新B數組的值，n次更新維護的消耗自然就變成了O(n^2)，更新的效率變得低下
樹狀數組
那么是否有一種方法可以讓查詢和更新的時間復雜度都小一些呢，至少可以令人接受，這里將介紹樹狀數組如何處理前綴和查詢和單點更新的問題，對於n次操作，時間復雜度都為O(nlogn)
- 借用百度百科上的圖片
如圖，對於一個長度為n的數組，A數組存放的是數組的初始值，引入一個輔助數組C（我們通過C數組建立樹狀數組）
C1 = A1
C2 = C1 + A2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = C2 + C3 + A4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = C5 + A6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = C4 + C6 + C7 + A8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
我們稱C[i]的值為下標為i的數所管轄的數的和，C[8]存放的就是被編號8所管轄的那些數的和（有8個），而下標為i的數所管轄的元素的個數則為2^k個（k為i的二進制的末尾0的個數）舉兩個例子查詢下標m8和m5所管轄的數的和
- 8 = 1000，末尾3個0，故k == 3，所管轄的個數為2^3 == 8，C8是8個數的和
- 5 = 0101，末尾沒有0，故k == 0，所管轄的個數為2^0 == 1，C5是一個數的和（它本身A5）
而對於輸入的數m，我們要求編號為m的數的前綴和A1~Am（這里假設樹狀數組已經建立，即C1~C8的值已經求出，別着急，在本文的最下方會做出建立樹狀數組的過程講解，因為現在是在求前綴和，就假設C數組已經可用了吧）舉兩個例子m7和m6（sum(i)表示求編號為i的前綴和）
- m==7 sum(7) = C7 + C6 + C4
那么我們是怎么得到編號7是由哪幾個C[i]求和得到呢（C4, C6, C7怎么得到的），這里有介紹一種巧妙的方法：
對於查詢的m，將它轉換成二進制后，不斷對末尾的1的位置進行-1的操作，直到全部為0停止
7的二進制為0111（C7得到），那么先對0111的末尾1的位置-1，得到0110 == 6（C6得到），再對0110末尾1位置-1，得到0100 == 4（C4得到），最后對0100末尾1位置-1后得到0000（結束信號），計算停止，至此C7，C6，C4全部得到，求和后就是m == 7時它的前綴和 - m==6 sum(6) = C6 + C4
m == 6時也是一樣，先轉成2進制等於0110，經過兩次變換后為0100（C4）和0000（結束信號），那么求和后同樣也得到了預計的結果
這里要介紹一個高效的方法，lowbit(int m)，這是一個函數，它的作用是求出m的二進制表示的末尾1的位置，對於要查詢m的前綴和，m = m - lowbit(m)代表不斷對二進制末尾1進行-1操作，不斷執行直到m == 0結束，就能得到前綴和由哪幾個Cm構成，十分巧妙，lowbit也是樹狀數組的核心
int lowbit(int m){
return m&(-m);
}
關於m&(-m)很多童鞋可能感到困惑，那么就不得不提及一下負數在計算機內存中的存儲形式，負數在計算機中是以補碼的形式存儲的，如13的二進制表示為1101，那么-13的二進制而將13二進制按位取反，然后末尾+1，即0010 + 0001 = 0011，那么1101 & 0011== 0001，很顯然得到m == 13二進制末尾1的位置是2的0次方位，將13 - 0001 == 12，再對12執行lowbit操作，1100 & 0100 == 0100，也很輕易得到了m == 12時二進制末尾1的位置是2的2次方位，將12 - 0100 == 8，再對8執行lowbit操作，0100 & 1100 == 0100，得到m == 8時二進制位是2的2次方位，8 - 0100 == 0（結束操作），通過循環得到的13，12，8，則sum(13) == C13 + C12 + C8
求前綴和的代碼
int ans = 0;
int getSum(int m){
while(m > 0){
ans += C[m];
m -= lowbit(m);
}
}
對於n次前綴和的查詢，時間復雜度為O(nlogn)
接下來講解單點更新值
對於輸入編號為x的值，要求為它的值附加一個value值，我們把圖再一次拿下來
假設x2，value5，那么我們先找到A[2]的位置，通過觀察我們得知，如果修改了A[2]的值，那么管轄A[2]的C[2]，C[4]，C[8]的前綴和都要加上value（所有的祖先節點），那么和查詢類似，我們如何得到C2的所有祖先節點呢（因為C2和A2的下標相同所以更新時查詢從C[x]開始），依舊是上述的巧妙的方法，但是我們把它倒過來
對於要更新x位置的值，我們把x轉換成二進制，不斷對二進制最后一個1的位置+1，直到達到數組下標的最大值n結束
- 對於給出的例子x2，假設數組下標上限n8，x轉換成二進制后等於0010（C2），對末尾1的位置進行+1，得到0100（C4），對末尾的1的位置進行+1，得到1000（C8），循環結束，對C2，C4，C8的前綴和都要加上value，當然不能忘記對A[2]的值+value，單點更新值過程結束
給出代碼
void update(int x, int value){
A[x] += value; //不能忘了對A數組進行維護，盡善盡美嘛
while(x <= n){
C[x] += value;
x += lowbit(x);
}
}
對於n次更新操作，時間復雜度同樣為O(nlogn)
這里有一個注意事項，我們對於求前綴和與單點更新時，樹狀數組C是拿來直接使用的，那么問題來了，樹什么時候建立好的，我怎么不知道？?
事實上，對於一個輸入的數組A，我們一次讀取的過程，就可以想成是一個不斷更新值的過程（把A1~An從0更新成我們輸入的A[i]），所以一邊讀入A[i]，一邊將C[i]涉及到的祖先節點值更新，完成輸入后樹狀數組C也就建立成功了
- 完整代碼如下：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int a[10005];
int c[10005];
int n;
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
int getSum(int x){
int ans = 0;
while(x > 0){
ans += c[x];
x -= lowbit(x);
}
return ans;
}
void update(int x, int value){
a[x] += value;
while(x <= n){
c[x] += value;
x += lowbit(x);
}
}
int main(){
while(scanf("%d", &n)!=EOF){ //用於測試n == 8
memset(a, 0, sizeof(a));
memset(c, 0, sizeof(c));
for(int i = 1; i <= n; i++){
scanf("%d", &a[i]); //a[i]的值根據具體題目自己安排測試可以1，2，3，4，5，6，7，8
update(i, a[i]); //輸入的過程就是更新的過程
}
int ans = getSum(n-1); //用於測試輸出n-1的前綴和 輸出28
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}