add by zhj: 在學習Lucene的存儲結構時，看到其使用了FST，這篇文章寫的不錯。
trie，FSA，FST都是用來解決有限狀態機的存儲，trie是樹，它進一步演化為FSA和FST，這兩者是圖
該文的原標題是“使用自動機來索引1,600,000,000個鍵”，我改了一下，原標題其實是
說這三類數據結構的使用場景。
本文翻譯自Index 1,600,000,000 Keys with Automata and Rust，所以標題也直譯過來。
有限狀態機(FSM, finite state machine)可以用來緊密地存儲有序集合和有序鍵值對，並且可以實現快速搜索。本文中，我會表明怎樣用FSM來作為數據結構存儲這樣的數據。
FSM作為數據結構
FSM是一個狀態的集合和狀態轉移的集合。一個起始狀態，0個或多個結束狀態。一個FSM在同一時間只有一個狀態。
FSM非常常見，並且可以用來描述一系列過程。比如我家貓咪Cauchy一天的日常生活:
里面有一些”asleep”或者”eating”的狀態，一些轉移”food is served”, “something moved”。這里沒有結束狀態，如果結束了，那真是太恐怖了！
FSM近似的表達了現實中的情況。Cauchy不可能同時吃飯和睡覺，這跟FSM中同一時刻只有一個狀態是一樣的。並且，從一個狀態轉移到另一個狀態需要外部環境的一個輸出。需要睡覺，可能是因為”吃飽了”, “累了”等等。不管他睡得多死，”聽到外面的聲音”，它總會醒過來。
有序集合
有序集合里的鍵按照字典序排序。典型的應用是二叉查找樹和B樹。無序集合，典型應用就是哈希表。這里，我們先描述一個確定無環有限狀態接收器(deterministic acyclic finite state acceptor)，即FSA。
一個FSA需要滿足以下條件：
- 確定性的。給定已給輸入，最多只能轉移到一個狀態。
- 無環的。不能反序遍歷。
- 接收器。FSA可以接收一系列特定的輸入。
那么，怎么用這些特性來表示一個集合呢。訣竅在於，key作為FSA的狀態轉移。這樣，給定一個輸入key，我們可以知道這個key這個key是否在FSA中。
假設一個集合，只有一個key”jul”。FSA就像下面這樣：
這時候如果問FSA，是否包含”jul”。處理順序如下：
- 給定j，FSA狀態從0變為1.
- 給定u，FSA狀態從1變為2.
- 給定l，FSA狀態從2變為3.
輸入結束，這時候判斷一下FSA是否處在final狀態(圖中用雙圈表示)，表明jul確實在set中。
這時候如果問FSA，是否包含”jun”。處理順序如下：
- 給定j，FSA狀態從0變為1.
- 給定u，FSA狀態從1變為2.
- 給定l，FSA不動，處理結束。
FSA不動，因為狀態2只接收’l’的轉移，但是當前輸入為’n’。因此處理結束，也表明集合中不包含”jun”。
這時候如果問FSA，是否包含”ju”。處理順序如下：
- 給定j，FSA狀態從0變為1.
- 給定u，FSA狀態從1變為2.
判斷一下，此時是否處於final狀態。
值得注意的是，判斷一個key是否存在，受限於key的長度，而不是set的大小。
下面把key”mar”添加到FSA中去，這時候FSA的表現如下：
FSA變得稍微復雜一點，狀態0可以有兩個轉移。如果起始輸入mar，它會先轉移到1狀態。
還有一個需要注意的是，狀態3被jul和mar兩個key共享。即，狀態3可以由l和r轉移過來。這種共享的方式，可以用更少的空間保存更多的信息。
如果再加入jun，FSA表現如下：
看到變化了么？只有一點點變化。FSA看起來和之前的幾乎沒什么區別。唯一變化的地方在狀態5多了一個轉移。FSA其實沒有新增狀態節點，因為jun和jul共享了前綴ju
下面展示一個更復雜的FSA，包含三個key，october，november，december。
因為有相同的后綴ber，在FSA中只需要編碼一次就行了。兩個key有更大的相同的后綴，ember。
在介紹FST之前，我們先看看，如何來遍歷FSA中所有的key呢？
為了闡述這個過程，還用一個之前的一個簡單的圖，有三個key，jul，jun和mar。
遍歷方式如下：
- 初始化狀態0
- 移動到狀態4，把j添加到key中
- 移動到狀態5，把u添加到key中
- 移動到狀態3，把l添加到key中，輸出jul
- 返回狀態5，把key中的l拋棄掉
- 移動到狀態3，把n添加到key中，輸出jun
- 返回狀態5，把key中的n拋棄掉
- 返回狀態4，把key中的u拋棄掉
- 返回狀態0，把key中的j拋棄掉
- 移動到狀態1，把m添加到key中
- 移動到狀態2，把a添加到key中
- 移動到狀態3，把r添加到key中，輸出mar
這個算法直接應用一個棧存儲訪問過的狀態，和一個棧存儲相應的轉移。時間復雜度為O(n)，空間復雜度O(k)，k是set中最長的鍵的大小。
有序map
和有序集合類似，只是多了一個輸出。有序map常用在二叉查找樹和b樹，無序map就是hashtbale。這里我們介紹一個deterministic acyclic finite state transducer，確定無環有限狀態轉移器，FST。
FST滿足以下特性：
- 確定性。
- 無環。
- 一個轉移器。給定一系列輸入，會輸出一個值。當且僅當輸入會達到FST的final狀態。
FST和FSA很像，但是對於一個key，FSA只回答了”yer or no”，FST不僅回答”yes or no”，還好返回和這個key相關的一個值。
在有序集合中，只需要把key保存在轉移時。但是在這里，還需返回與key對於的value。
一種方法是，在每次轉移的時候添加一些值。當輸入序列在狀態之間轉移的時候，輸出序列也在慢慢增加。
還是看一個簡單的例子吧。map中只包含一個數據jul，對應的value為7:
這和上面的集合差不多，只是在第一個轉移狀態j之后多了一個相關聯的輸出7.另外的轉移u和l對應的輸出都是0，所以圖中就不顯示了.
如果要判斷，FST中是否存在key”jul”，並且需要對應的返回值，處理過程如下：
- 初始化value為0
- 給定輸入j,FST從狀態0轉移到1，value+7
- 給定輸入u，FST從狀態1轉移到2，value+0
- 給定輸入l，FST從狀態2轉移到3，value+0
輸入結束，狀態3為final狀態，因此key存在，value為7
下面把k-v,”mar 3”添加到FST中
在起始節點，多了一個新的轉移m，對應輸出為3.如果我們查詢jul，那么應該和上面是一樣的處理過程。
繼續，當添加一個有相同前綴的key，會發生什么呢？
添加key jun，value 6
在狀態5和狀態3之間添加了一個轉移n。但是還有另外兩個變化
- 0->4轉移j輸入對應輸出從7變成了6.
- 5->3轉移l輸入對應輸出從0變成了1.
這個變化之后們可以正確查詢jun和jul，並且返回正確的值。
這種key的屬性確保了，即使共享前綴，對於每一個key，然后只有一個唯一的路徑可以貫穿整個machine。因此，每個key也有唯一的value。我們要做的就是怎么把這些輸出放在轉移中去。
其實不僅可以共享前綴，還可以共享后綴。對於兩個key tuesday和thursday，分別對於輸出3和5.
這兩個key有相同的前綴t，相同的后綴sday，按照圖里的方式可以保證輸出的正確性。
這里在描述輸出的時候，其實有一點局限，如果輸出不是整形。確實，在FST里用做輸出的類型必須滿足以下特性：
- 加法
- 減法
- 取前綴（對於整數來說就是min）
構建
Trie樹構建
trie樹，前綴樹。和FSA的區別在於，FSA可以共享前綴和后綴。對於鍵mon，tues，thus來說，FSA如下：
而trie樹只共享前綴，如下：
構建trie樹很直接的，對於一個給定的輸入，只需要去看看有沒有相同的前綴。直到找出相同的前綴，余下的直接轉移到一個final狀態就可以了。
FSA構建
FSA和trie的區別在於，共享后綴。因此一個FSA的空間會比trie少很多，但是構建起來卻更復雜，因此我們如果按照key的字典序插入的話，會好很多，還是用圖片來說明。
對於三個key，mon，tues和thurs。按照字典序，插入順序mon，thurs和tues。先插入mon：
下面插入thurs:
插入thurs的時候，會導致之前的mon被凍結。當FSA中一部分被凍結的時候，我們知道，它以后再也不會被更改了。因為按照字典序排序的，后面的key肯定都是大於等於thurs的。因此不會和mon有相同前綴的key插入了。藍色的state代表被凍結住，以后不會被更改但是可以被復用。
虛線的狀態表示thurs還沒有被真正加入到FSA中去，下面插入tues：
在這一步里，我們可以確定hurs會被凍住。因為將會不會有和它有相同前綴的詞插入進來了。因為thurs和mon可以有相同的final state了。
這里狀態4仍然是虛線，因為還不能確定t開頭的key還有沒有了。如果下面插入zon：
看到，這時狀態4已經被凍住了，因為不會在有t開頭的key出現了，另外thurs和tues有一個共同的后綴s，因此狀態7和狀態9被合並了。
最后，在結束操作以后，把FSA的最后一部分凍住，一個完整的沒有重復的結構如下：
因為mon和zon有相同的后綴，因此它們除了第一個狀態轉移不一樣，剩下的可以重復利用。
FST構建
下面快速說一下FST構建，插入鍵值對 mon-2，tues-3，thurs-5.
直接上圖，插入mon-2
對於第一步，我們也可以這樣分配輸出的值
其實這樣也是可以的，但是在算法上來說，把輸出放在靠近初始狀態的地方，代碼寫起來更簡單。
插入thurs-5
插入tues-3
在把狀態0-4之間的輸出從5變為3的之后，需要把4之后所有的輸出全部加2，除了新添加的key，這樣就可以保持輸出的平衡。
下面插入一個tye-99
最后的完全形態
