DFA 確定性有限狀態自動機
DFA確定性有限狀態自動機是一種圖結構的數據結構，可以由(Q, q0, A, Sigma, Delta)來描述，其中Q為狀態集，q0為初始狀態，A為終態集合，Sigma為字母表，Delta為轉移函數。它表示從唯一一個起始狀態q0開始，經過有限步的Delta轉移，轉移是根據字母表Sigma中的元素來進行，最終到達終態集合A中的某個狀態的狀態移動。 
如圖所示是一個終態集合為{"nano"}的DFA。
DFA只能有一個起點而可以有多個終點。每個節點都有字符集大小數條有向邊，並且任一節點，都不會存在相同字符的有向邊指向不同的節點。
Trie樹
Trie樹為單詞前綴樹，m個模式串中的前綴所組成的集合A與根節點到每一個樹中的節點的路徑上的字符組成的字符串S所組成的集合B，是滿射關系。具體參見:Trie樹
例如可以利用Trie樹求字符串S的所有不同子串：
假設當前字符串為S，用S的所有后綴作為len(S)個模式串，插入到一棵Trie樹中，Trie樹中的每個節點對應的字符串就是字符串S中的一個子串，不同子串一定對應不同的節點。
Trie圖
1. Trie圖結構
Trie圖為以Trie樹為基礎構造出來的一種DFA。對於插入的每個模式串，其插入過程使用的最后一個節點都作為DFA的一個“終止”節點。
如果要求一個母串包含哪些模式串（即該母串的某個子串恰好等於預先給定的某個模式串），以母串作為DFA的輸入 ，在DFA上行走，走到“終止”節點就意味着匹配了相應的模式串。
2. 失配處理
在行走的過程中，如果出現母串中的下一個字符在Trie圖中當前位置處沒有一個子節點與之對應，或者Trie圖中的當前位置正好匹配了一個模式串，那么需要調整母串重新匹配的位置。一般，可以調整母串上開始匹配的位置，使之加1，再嘗試從Trie圖的根節點位置開始匹配。這樣顯然效率很低。可以參考KMP算法的最長相同前后綴的方法，來避免回溯。
3. 前綴指針
為了避免回溯，參考KMP的next數組，在Trie圖中定義“前綴指針”：
從根節點到節點P可以得到一個字符串S，節點P的前綴指針定義為 指向樹中出現過的S的最長后綴（不能等於S）
4. 高效的構造前綴指針
根據深度一一求出每一個節點的前綴指針。對於當前節點，設它的父節點與它的邊上的字符為ch，如果它的父節點的前綴指針所指向的節點的兒子節點中，有通過ch字符指向的兒子，那么當前節點的前綴指針指向該兒子節點，否則通過當前節點父節點的前綴指針指向節點的前綴指針，繼續向上查找，直到到達根為止。 
5. 危險節點
（1）“終止”節點是危險節點
（2）如果一個節點的前綴指針指向危險節點，則該節點為危險節點
6. 在建立好的Trie圖上遍歷
從root出發，按照當前串的下一個字符ch進行在樹上的移動。若當前點P不存在通過ch連接的兒子，那么將P的前綴指針所指向的節點Q作為當前節點；
如果還無法找到通過ch連接的兒子節點，再考慮Q的前綴指針指向的節點（將之作為當前節點）....;
直到找到通過ch連接的兒子，再繼續遍歷；
如果遍歷的過程中經過了某個非終止節點的危險節點，則可以斷定S包含某個模式串，要找出是哪個模式串，沿着危險節點的前綴指針走，碰到終止節點即可。
7. Trie圖的時間復雜度
在Trie圖上遍歷母串S的時間復雜度為len(S)。
（1）母串每過掉一個字符，不論該字符是匹配上還是沒匹配上，在trie圖上最多向下走一層
（2）一個節點的前綴指針總是指向更高層次的節點，所以每次沿着前綴指針走一步，節點的層次就會向上一層
（3）母串S最終被過掉了len(S)個字符，所以最多向下走了len(S)次。
（4）最多向下走了len(S)次，那么就不可能向上走超過len(S)次，因此沿着前綴指針走的次數，做多不超過len(S)
前綴指針思想
Trie通過前綴指針來避免母串的回溯，其思想和KMP算法非常相似。
KMP算法是通過確定子串中失配點之前的子串的最長相同前后綴，失配時，母串當前點不回溯，而是直接和最長相同前后綴的前綴處繼續進行匹配。 
（kmp 避免母串指針回溯）
和KMP類似，Trie圖中的每個節點都對應一個模板串（節點為終止節點）或者模板串的子串（節點不是終止節點），記為S。S可以確定len(S)-1個后綴（從S中的第2到第len(S)-1個位置到S的末尾確定），其中有些后綴串Si可能正好對應該Trie圖中從root節點出發的到某個節點Pi確定的串。
如上圖所示，綠色方塊區域為從母串上一個開始匹配點到失配點之前的匹配區域，紅色為失配點，該綠色匹配區域中有兩個后綴子串sub1[S1,A]區域和sub2[S2,A]區域，分別對應Trie圖中從root出發到P1,P2點確定的串。且母串中[S1,E1]和[S2,E2]分別對應一個模式串。
母串不回溯，Trie圖上當前點的移動，可以匹配母串中存在的所有的模式串
以上圖為例此時，需要確定母串指針之后的移動可以找到[S1，E1]和[S2，E2]兩個模式串，策略是先匹配起點靠前的那個串，即[S1，E1]。
case 1 E1 > E2
母串指針不回溯，Trie圖的當前點轉移到P1（從root到P1對應[S1,A]),然后嘗試匹配。匹配成功，到達E1點，此時將Trie圖中點從E1移動到E1的前綴指針，由於[S2,E1]為[S1,E1]的最長后綴，即移動到點P，使得root到P為[S2，E1]。因為Trie圖中[S2，E2]對應從root出發到某個點Q的串，那么root到Q的路徑必然經過點P,此時從點P繼續匹配，必然能夠到達Q；
這樣，就得到了[S1，E1]和[S2，E2]兩個模式串。
case 2 E1 < E2 
母串指針不回溯，Trie圖的當前點轉移到P1（從root到P1對應[S1,A]),然后嘗試匹配。由於[S1,E1]對應一個模式串，即對應Trie圖中的某個終止節點，從P1點開始會一直匹配到達P（從root到P對應[S1,E1])。在匹配的過程中，會碰到某個點危險節點M，M指向節點Q（從root到Q對應[S2,E2]）(這是在設置Trie圖中各個節點的前綴指針的時候確定的），根據Trie圖的遍歷規則，會得到[S2，E2]的模式串。這樣，就得到了[S1，E1]和[S2，E2]兩個模式串。
Trie圖實現（c++)
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<string>
using namespace std;
#define LETTERS 26
int gNodeCount = 2;
struct Node{
Node* childs[LETTERS]; //子節點
Node* prev; //前綴指針
bool danger_node; //是否危險節點
Node(){
Init();
}
void Init(){
memset(childs, 0, sizeof(childs));
danger_node = false;
prev = NULL;
}
};
Node gNodes[2000];
void Insert(Node* root, char* str){
char* p = str;
Node* node = root;
while (*p != '\0'){
int index = *p - 'A';
if (node->childs[index] == 0){
node->childs[index] = gNodes + gNodeCount ++;
}
node = node->childs[index];
p++;
}
node->danger_node = true;
}
//在Trie樹上添加前綴指針
void BuildDfa(){
Node* root = gNodes + 1;
for (int i = 0; i < LETTERS; i++){ //為虛擬節點
gNodes[0].childs[i] = root;
}
root->prev = gNodes;
gNodes[0].prev = NULL;
deque<Node*> Q;
Q.push_back(root);
while (!Q.empty()){
Node* node = Q.front();
Node* prev = node->prev, *p;
Q.pop_front();
for (int i = 0; i < LETTERS; i++){
if (node->childs[i]){
p = prev;
while (p && !p->childs[i]){
p = p->prev;
}
node->childs[i]->prev = p->childs[i];
//這個地方注意，不能寫成 p->childs[i]->danger_node = node->childs[i]->danger_node
if (p->childs[i]->danger_node)
node->childs[i]->danger_node = true;
Q.push_back(node->childs[i]);
}
}
}
}
bool SearchDfa(char* str){
char*p = str;
Node* node = gNodes + 1;
while (*p != '\0'){
int index = *p - 'A';
if (node->danger_node)
return true;
while (node&& !node->childs[index]){
node = node->prev;
}
p++;
}
return false;
}