我是連月更都做不到的蒟蒻博主QwQ
考慮到我太菜了，考完noip就要退役了，所以我決定還是把博客的倒數第二篇博客給寫了，也算是填了一個坑吧。（最后一篇？當然是悲愴のnoip退役記啦QAQ）
所以我們今天學習的是AC自動機的Trie圖和last優化。如果不知道什么是AC自動機，建議看一看我的上一篇博客：AC自動機學習筆記1
Trie圖
上次我們說到朴素的AC自動機的時間復雜度是布星的，原因如下：
匹配時因為每次都要跳fail邊，復雜度上界可以達到 $ O(ml) $
而Tire圖就是用來解決這種問題的。可以想到，匹配時跳fail邊是十分浪費時間的。舉個例子，對於字符集{a,b,c}上的模式ab,aab,aaab,aaaab,ac和文本串aaaac，它們建出來的AC自動機和匹配過程是這樣的（藍色邊是Trie樹的邊，紅色邊是fail指針，黃色邊是匹配時的狀態轉移）：
我們會想，如果失配時可以一步到位就好了。每次跳fail邊的過程是固定的：一直跳，直到找到擁有兒子c的節點為止。也就是說，無論什么時候在這個節點上失配，只要你找的是字符c，你總會在固定的節點上重新開始匹配。既然這樣，不如直接把那個字符為c的節點變成自己的兒子，就可以省去跳fail邊的麻煩：
上圖中，所有的節點的a,b,c三個子節點都是滿的（未畫出的邊都指向根節點，表示完全失配只能從根重新開始）。這樣，原本是DAG結構的AC自動機上出現了環，這樣的結構我們稱之為Trie圖。於是乎，在匹配的時候我們終於可以不用考慮fail邊，一口氣不停地匹配到底辣٩(๑>◡<๑)۶復雜度變成了真正的 $ O(m) $ ，所以你就可以拿這個算法去爆踩std啦qwq
那么，怎么利用fail指針將AC自動機轉化為Trie圖呢？其實，只需要在構建fail指針時順便修改子節點就行了：
void build()
{
queue<int>q;
q.push(1);
while(!q.empty())
{
int x=q.front();q.pop();
for(int i=0;i<26;++i)
{
int c=ch[x][i];
if(!c){ch[x][i]=ch[fail[x]][i];continue;}//關鍵，把子節點改成fail節點的子節點
q.push(c);
int fa=fail[x];
while(fa&&!ch[fa][i])fa=fail[fa];
fail[c]=ch[fa][i];
}
}
}
因為當你遍歷到這個節點時，fail節點的所有兒子肯定已經求出來了，所以直接用fail節點的子節點就好了。
last優化
上述方法將建圖+匹配的復雜度成功優化為了 $ O(\sum n+m) $ ，但是別忘了，匹配成功時的計數也是需要跳fail邊的。然而，為了跳到一個結束節點，我們可能需要中途跳到很多沒用的偽結束節點：
如果一個節點的fail指向一個結尾節點，那么這個點也成為一個（偽）結尾節點。在匹配時，如果遇到結尾節點，就進行相應的計數處理。
這里面就又有優化的余地了：對於不是真正結束節點的偽結束點，直接跳過它就好了。我們用一個last指針表示“在它頂上的fail邊所指向的一串節點中，第一個真正的結束節點”。於是，每次計數處理時，我們不跳fail邊，改為跳last邊，省去了很多冗余操作。
獲得last指針的方法也十分簡單，就是在void build()中加一句話：
last[c]=end[fail[c]]?fail[c]:last[fail[c]];
然后匹配時的代碼就變成了：
void count(int x)
{
while(x)
{
//計數、打印等，視題目要求頂
x=last[x];
}
}
void match()
{
int now=1;
for(int i=1;s[i]!='\0';++i)
{
int x=s[i]-'a';
now=ch[now][x];
if(end[now])count(now);
else if(last[now])count(last[now]);
}
}
注意：last優化是對復雜度沒有影響的小優化，但是大多數情況下效果明顯，類似於搜索剪枝。
總結
trie圖和last優化都是在“如何跳過不必要的操作”上進行思考后的產物。這種思想可以被運用在很多題目里面，往往可以把復雜度里的一個n給去掉或者變成log。（不存在的。。。所謂“把某種方法完全掌握就可以輕松做出所有這種題”是某C姓教練最喜歡說的話，他認為“沒做出一道要用到某種數據結構的題”的原因是“對某種數據結構的掌握還是不夠熟練”，進而認為最好且明智的解決方法就是“多刷這種數據結構的題以提高熟練度”。這種人實在不好評價，我們還非得聽他的話。。。）
AC自動機學習筆記就告一段落了，寫這樣一篇博客真的很費勁，感謝您的資瓷啦qwq！