以二元函數為例，$f(x,y)$，對於任意單位方向$u$，假設$u$是$x$軸的夾角，那么函數$f(x,y)$在$u$這個方向上的變化率為：
$f_x(x,y) \cos \alpha + f_y(x,y) \sin \alpha=\nabla f(x,y)^T\begin{pmatrix}f_x(x,y) \\ f_y(x,y)\end{pmatrix}=\nabla f(x,y)^Tu$也就是兩個向量的點積
假設$\nabla f(x,y)$和$u$的夾角為$\theta$，那么函數$f(x,y)$在$u$這個方向上的變化率可以寫成：
$\nabla f(x,y)^Tu=\|\nabla f(x,y)\|_2 \|u\|_2 \cos \theta=\|\nabla f(x,y)\|_2\cos \theta$
$cos\theta$的取值范圍為[-1,1]，當$cos\theta=1$時，函數變化率最大（上升最快），此時$u$是梯度$\nabla f(x,y)$的反方向。
推廣到n元函數，函數$f$在單位方向$u$的變化率為$\nabla f^T u$，假設$\nabla f(x,y)$和$u$的夾角為$\theta$，同樣函數$f$在$u$這個方向上的變化率可以寫成$\nabla f^Tu=\|\nabla f\|_2\|u\|_2 \cos \theta=\|\nabla f\|_2\cos \theta$，變化率由$cos\theta$決定。$u$和梯度$\nabla f(x,y)$同方向，上升最快；$u$和梯度$\nabla f(x,y)$反方向，下降最快。
參考文獻：
【3】方向導數公式的證明