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1. 算法背景——蟻群的自組織行為特征
高度結構化的組織——雖然螞蟻的個體行為極其簡單，但由個體組成的蟻群卻構成高度結構化的社會組織，螞蟻社會的成員有分工，有相互的通信和信息傳遞。
自然優化——蟻群在覓食過程中，在沒有任何提示下總能找到從蟻巢到食物源之間的最短路徑；當經過的路線上出現障礙物時，還能迅速找到新的最優路徑。
信息正反饋——螞蟻在尋找食物時，在其經過的路徑上釋放信息素（外激素）。螞蟻基本沒有視覺，但能在小范圍內察覺同類散發的信息素的軌跡，由此來決定何去何從，並傾向於朝着信息素強度高的方向移動。
自催化行為——某條路徑上走過的螞蟻越多，留下的信息素也越多（隨時間蒸發一部分），后來螞蟻選擇該路徑的概率也越高。
2. 算法基本思想：
（1）根據具體問題設置多只螞蟻，分頭並行搜索。
（2）每只螞蟻完成一次周游后，在行進的路上釋放信息素，信息素量與解的質量成正比。
（3）螞蟻路徑的選擇根據信息素強度大小（初始信息素量設為相等），同時考慮兩點之間的距離，采用隨機的局部搜索策略。這使得距離較短的邊，其上的信息素量較大，后來的螞蟻選擇該邊的概率也較大。
（4）每只螞蟻只能走合法路線（經過每個城市1次且僅1次），為此設置禁忌表來控制。
（5）所有螞蟻都搜索完一次就是迭代一次，每迭代一次就對所有的邊做一次信息素更新，原來的螞蟻死掉，新的螞蟻進行新一輪搜索。
（6）更新信息素包括原有信息素的蒸發和經過的路徑上信息素的增加。
（7）達到預定的迭代步數，或出現停滯現象（所有螞蟻都選擇同樣的路徑，解不再變化），則算法結束，以當前最優解作為問題的最優解。
3. 信息素及轉移概率的計算：
4. 算法步驟
算法流程圖如下：
5. 舉例分析
我們假設5個城市的TSP問題，然由於某種原因，城市道路均是單行道，即A->B和B->A的距離不相同，也就是說這是一個不對稱的TSP問題。現在城市距離信息如下表：
設置參數：
m=5,α=1,β=1,ρ=0.5,τ_ij(0)=2。
第一次迭代第一只螞蟻：
第一次迭代第二只螞蟻
第一次迭代第三只螞蟻：
第一次迭代第四只螞蟻：
第一次迭代第五只螞蟻：
第一次迭代完成，更新信息素矩陣，信息素揮發系數為0.5。
第一代螞蟻全部累死，重新隨機生成第二代螞蟻進行迭代。
第二次迭代第一只螞蟻：
第二次迭代第二只螞蟻：
第二次迭代第三只螞蟻：
第二次迭代第四只螞蟻：
第二次迭代第五只螞蟻：
至此，我們已經發現在第二次迭代的時候，五只螞蟻走的是同一條路，所以算法收斂結束。 最優路徑A->E->D->C->B->A, 最有路徑的距離為9.
6. 算法特點：
是一種基於多主體的智能算法，不是單個螞蟻行動，而是多個螞蟻同時搜索，具有分布式的協同優化機制。
本質上屬於隨機搜索算法（概率算法），具有概率搜索的特征。
是一種全局搜索算法，能夠有效地避免局部最優。
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%-------------------------------------------------------------------------- %% 數據准備 % 清空環境變量 clear all clc % 程序運行計時開始 t0 = clock; %導入數據 citys=xlsread('Chap9_citys_data.xlsx', 'B2:C53'); %-------------------------------------------------------------------------- %% 計算城市間相互距離 n = size(citys,1); D = zeros(n,n); for i = 1:n for j = 1:n if i ~= j D(i,j) = sqrt(sum((citys(i,:) - citys(j,:)).^2)); else D(i,j) = 1e-4; %設定的對角矩陣修正值 end end end %-------------------------------------------------------------------------- %% 初始化參數 m = 75; % 螞蟻數量 alpha = 1; % 信息素重要程度因子 beta = 5; % 啟發函數重要程度因子 vol = 0.2; % 信息素揮發(volatilization)因子 Q = 10; % 常系數 Heu_F = 1./D; % 啟發函數(heuristic function) Tau = ones(n,n); % 信息素矩陣 Table = zeros(m,n); % 路徑記錄表 iter = 1; % 迭代次數初值 iter_max = 100; % 最大迭代次數 Route_best = zeros(iter_max,n); % 各代最佳路徑 Length_best = zeros(iter_max,1); % 各代最佳路徑的長度 Length_ave = zeros(iter_max,1); % 各代路徑的平均長度 Limit_iter = 0; % 程序收斂時迭代次數 %------------------------------------------------------------------------- %% 迭代尋找最佳路徑 while iter <= iter_max % 隨機產生各個螞蟻的起點城市 start = zeros(m,1); for i = 1:m temp = randperm(n); start(i) = temp(1); end Table(:,1) = start; % 構建解空間 citys_index = 1:n; % 逐個螞蟻路徑選擇 for i = 1:m % 逐個城市路徑選擇 for j = 2:n has_visited = Table(i,1:(j - 1)); % 已訪問的城市集合(禁忌表) allow_index = ~ismember(citys_index,has_visited); % 參加說明1（程序底部） allow = citys_index(allow_index); % 待訪問的城市集合 P = allow; % 計算城市間轉移概率 for k = 1:length(allow) P(k) = Tau(has_visited(end),allow(k))^alpha * Heu_F(has_visited(end),allow(k))^beta; end P = P/sum(P); % 輪盤賭法選擇下一個訪問城市 Pc = cumsum(P); %參加說明2(程序底部) target_index = find(Pc >= rand); target = allow(target_index(1)); Table(i,j) = target; end end % 計算各個螞蟻的路徑距離 Length = zeros(m,1); for i = 1:m Route = Table(i,:); for j = 1:(n - 1) Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1)); end Length(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1)); end % 計算最短路徑距離及平均距離 if iter == 1 [min_Length,min_index] = min(Length); Length_best(iter) = min_Length; Length_ave(iter) = mean(Length); Route_best(iter,:) = Table(min_index,:); Limit_iter = 1; else [min_Length,min_index] = min(Length); Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length); Length_ave(iter) = mean(Length); if Length_best(iter) == min_Length Route_best(iter,:) = Table(min_index,:); Limit_iter = iter; else Route_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:); end end % 更新信息素 Delta_Tau = zeros(n,n); % 逐個螞蟻計算 for i = 1:m % 逐個城市計算 for j = 1:(n - 1) Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i); end Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i); end Tau = (1-vol) * Tau + Delta_Tau; % 迭代次數加1，清空路徑記錄表 iter = iter + 1; Table = zeros(m,n); end %-------------------------------------------------------------------------- %% 結果顯示 [Shortest_Length,index] = min(Length_best); Shortest_Route = Route_best(index,:); Time_Cost=etime(clock,t0); disp(['最短距離:' num2str(Shortest_Length)]); disp(['最短路徑:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]); disp(['收斂迭代次數:' num2str(Limit_iter)]); disp(['程序執行時間:' num2str(Time_Cost) '秒']); %-------------------------------------------------------------------------- %% 繪圖 figure(1) plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],... %三點省略符為Matlab續行符 [citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-'); grid on for i = 1:size(citys,1) text(citys(i,1),citys(i,2),[' ' num2str(i)]); end text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),' 起點'); text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),' 終點'); xlabel('城市位置橫坐標') ylabel('城市位置縱坐標') title(['ACA最優化路徑(最短距離:' num2str(Shortest_Length) ')']) figure(2) plot(1:iter_max,Length_best,'b') legend('最短距離') xlabel('迭代次數') ylabel('距離') title('算法收斂軌跡') %-------------------------------------------------------------------------- %% 程序解釋或說明 % 1. ismember函數判斷一個變量中的元素是否在另一個變量中出現，返回0-1矩陣； % 2. cumsum函數用於求變量中累加元素的和，如A=[1, 2, 3, 4, 5], 那么cumsum(A)=[1, 3, 6, 10, 15]。