蟻群算法

蟻群算法是一種用來尋找優化路徑的概率型算法。它由Marco Dorigo於1992年提出，其靈感來源於螞蟻在尋找食物過程中發現路徑的行為。這種算法具有分布計算、信息正反饋和啟發式搜索的特征，本質上是進化算法中的一種啟發式全局優化算法。

 

蟻群算法的基本原理

1、螞蟻在路徑上釋放信息素。

2、碰到還沒走過的路口，就隨機挑選一條路走。同時，釋放與路徑長度有關的信息素。

3、信息素濃度與路徑長度成反比。后來的螞蟻再次碰到該路口時，就選擇信息素濃度較高路徑。

4、最優路徑上的信息素濃度越來越大。

5、最終蟻群找到最優尋食路徑。

 

 

 蟻群走過較短的那一側的螞蟻數數量會多於較長那一側的，所以留下的信息素就會多，漸漸的螞蟻就只走較短的那一側了。

 

蟻群算法對TSP的求解主要有兩大步驟：（TSP問題就是要找到最短哈密爾頓回路）

1、路徑構建

AS中的隨機比例規則；對於每只螞蟻k，路徑記憶向量R^k.按照訪問順序記錄了所有k已經經過的城市序號。設螞蟻k當前所在城市為i,則其選擇城市j作為下一個訪問對象的概率為:

 

 

2、信息素更新

 

這里m是螞蟻個數, ρ是信息素的蒸發率，規定0≤ ρ≤1，在AS中通常設置為 ρ =0.5，Δτij是第k只螞蟻在它經過的邊上釋放的信息素量，它等於螞蟻k本輪構建路徑長度的倒數。C^k表示路徑長度，它是R^k中所有邊的長度和。

構建圖：構建圖與問題描述圖是一致的，成份的集合C對應着點的集合（即：C=N），連接對應着邊的集合（即L=A）,且每一條邊都帶有一個權值，代表點i和j之間的距離。

約束條件：所有城市都要被訪問且每個城市最多只能被訪問一次。

信息素和啟發式信息：TSP 問題中的信息素表示在訪問城市i后直接訪問城市j的期望度。啟發式信息值一般與城市i和城市j的距離成反比。

解的構建：每只螞蟻最初都從隨機選擇出來的城市出發，每經過一次迭代螞蟻就向解中添加一個還沒有訪問過的城市。當所有城市都被螞蟻訪問過之后，解的構建就終止。

 

 

 

蟻群算法存在缺陷：

蟻群算法在解決小規模TSP問題是勉強能用，稍加時間就能發現最優解，但是若問題規模很大，蟻群算法的性能會極低，甚至卡死。所以可以進行改進，例如精英螞蟻系統。

精英螞蟻系統是對基礎蟻群算法的一次改進，它在原AS信息素更新原則的基礎上增加了一個對至今最優路徑的強化手段。在每輪信息素更新完畢后，搜索到至今最優路徑的那只螞蟻將會為這條路徑添加額外的信息素。精英螞蟻系統引入 這種額外的信息素強化手段有助於更好的引導螞蟻搜索的偏向，使算法更快收斂

 

 

 

 

針對不同影響因素進行測試

m = 50; % 螞蟻數量
alpha = 1; % 信息素重要程度因子
beta = 5; % 啟發函數重要程度因子
rho = 0.1; % 信息素揮發因子

螞蟻數量50，信息素重要程度因子1，啟發函數重要程度因子5， 信息素揮發因子0.1在迭代次數在40次左右收束

 

 

m = 50; % 螞蟻數量
alpha = 0.5; % 信息素重要程度因子
beta = 10; % 啟發函數重要程度因子
rho = 0.1; % 信息素揮發因子

 

螞蟻數量50，信息素重要程度因子0.5，啟發函數重要程度因子10， 信息素揮發因子0.1在迭代次數在15次左右收束 ，大幅減少迭代次數（降低了信息素，增加了啟發函數重要程度因子）

 

 

m = 50; % 螞蟻數量
alpha = 0.1; % 信息素重要程度因子
beta = 10; % 啟發函數重要程度因子
rho = 0.1; % 信息素揮發因子

 

 

螞蟻數量50，信息素重要程度因子0.1，啟發函數重要程度因子10， 信息素揮發因子0.1在迭代次數在60次左右收束 ，迭代次數不減反增，可見信息素重要程度因子不能過小

 

m = 50; % 螞蟻數量
alpha = 0.1; % 信息素重要程度因子
beta = 5; % 啟發函數重要程度因子
rho = 0.1; % 信息素揮發因子

 

螞蟻數量50，信息素重要程度因子0.1，啟發函數重要程度因子5， 信息素揮發因子0.1在迭代次數在55次左右收束，啟發函數重要程度因子在超過一定數值后並不能有效降低，所以啟發函數重要程度因子不宜超過5

 

m = 100; % 螞蟻數量
alpha = 1; % 信息素重要程度因子
beta = 5; % 啟發函數重要程度因子
rho = 0.1; % 信息素揮發因子

 

 螞蟻數量100，信息素重要程度因子1，啟發函數重要程度因子5， 信息素揮發因子0.1在迭代次數在45次左右收束，增加蟻群數量后能一定程度上減少迭代次數，但是沒有明顯作用，且增加了運行時間成本，不建議過大。

 

m = 50; % 螞蟻數量
alpha = 1; % 信息素重要程度因子
beta = 5; % 啟發函數重要程度因子
rho = 0.2; % 信息素揮發因子

 

 

 

 螞蟻數量50，信息素重要程度因子1，啟發函數重要程度因子5， 信息素揮發因子0.2在迭代次數在60次左右收束，信息素揮發因子在增大也沒有更加明顯的優化了，推薦0.1-0.2即可。

 

 蟻群算法代碼

%% 旅行商問題(TSP)優化
%% 清空環境變量
clear all
clc

%% 導入數據
load citys_data.mat

%% 計算城市間相互距離
fprintf('Computing Distance Matrix... \n');
n = size(citys,1);
D = zeros(n,n);
for i = 1:n
    for j = 1:n
        if i ~= j
            D(i,j) = sqrt(sum((citys(i,:) - citys(j,:)).^2));
        else
            D(i,j) = 1e-4;      
        end
    end    
end

%% 初始化參數
fprintf('Initializing Parameters... \n');
m = 50;                              % 螞蟻數量
alpha = 1;                           % 信息素重要程度因子
beta = 5;                            % 啟發函數重要程度因子
rho = 0.2;                           % 信息素揮發因子
Q = 1;                               % 常系數
Eta = 1./D;                          % 啟發函數
Tau = ones(n,n);                     % 信息素矩陣
Table = zeros(m,n);                  % 路徑記錄表
iter = 1;                            % 迭代次數初值
iter_max = 150;                      % 最大迭代次數 
Route_best = zeros(iter_max,n);      % 各代最佳路徑       
Length_best = zeros(iter_max,1);     % 各代最佳路徑的長度  
Length_ave = zeros(iter_max,1);      % 各代路徑的平均長度  

%% 迭代尋找最佳路徑
figure;
while iter <= iter_max
    fprintf('迭代第%d次\n',iter);
    % 隨機產生各個螞蟻的起點城市
      start = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          temp = randperm(n);
          start(i) = temp(1);
      end
      Table(:,1) = start; 
      % 構建解空間
      citys_index = 1:n;
      % 逐個螞蟻路徑選擇
      for i = 1:m
          % 逐個城市路徑選擇
         for j = 2:n
             tabu = Table(i,1:(j - 1));           % 已訪問的城市集合(禁忌表)
             allow_index = ~ismember(citys_index,tabu);
             allow = citys_index(allow_index);  % 待訪問的城市集合
             P = allow;
             % 計算城市間轉移概率
             for k = 1:length(allow)
                 P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta;
             end
             P = P/sum(P);
             % 輪盤賭法選擇下一個訪問城市
             Pc = cumsum(P);     
            target_index = find(Pc >= rand); 
            target = allow(target_index(1));
            Table(i,j) = target;
         end
      end
      % 計算各個螞蟻的路徑距離
      Length = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          Route = Table(i,:);
          for j = 1:(n - 1)
              Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1));
          end
          Length(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1));
      end
      % 計算最短路徑距離及平均距離
      if iter == 1
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min_Length;  
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
      else
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length);
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          if Length_best(iter) == min_Length
              Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
          else
              Route_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:);
          end
      end
      % 更新信息素
      Delta_Tau = zeros(n,n);
      % 逐個螞蟻計算
      for i = 1:m
          % 逐個城市計算
          for j = 1:(n - 1)
              Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i);
          end
          Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);
      end
      Tau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;
    % 迭代次數加1，清空路徑記錄表

 %   figure;
 %最佳路徑的迭代變化過程
    [Shortest_Length,index] = min(Length_best(1:iter));
    Shortest_Route = Route_best(index,:);
    plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
    [citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
    pause(0.3);
 
    iter = iter + 1;
    Table = zeros(m,n);

 % end
end

%% 結果顯示
[Shortest_Length,index] = min(Length_best);
Shortest_Route = Route_best(index,:);
disp(['最短距離:' num2str(Shortest_Length)]);
disp(['最短路徑:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);

%% 繪圖
figure(1)
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
     [citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
grid on
for i = 1:size(citys,1)
    text(citys(i,1),citys(i,2),['   ' num2str(i)]);
end
text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),'       起點');
text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),'       終點');
xlabel('城市位置橫坐標')
ylabel('城市位置縱坐標')
title(['蟻群算法優化路徑(最短距離:' num2str(Shortest_Length) ')'])
figure(2)
plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:')
legend('最短距離','平均距離')
xlabel('迭代次數')
ylabel('距離')
title('各代最短距離與平均距離對比')

 

 

 

 總結

蟻群算法(AS)的缺點：

1、收斂速度慢（運行一次要等好久）

2、易於陷入局部最優

 

m -> 螞蟻數量:

m數目越多,得到的最優解就越精確,但是會有螞蟻重復路過同一城市,大量的重復增加了運行時間（100差不多了，運行好久）

 

alpha -> 信息素重要程度因子:

alpha值過大,螞蟻選擇之前走過的路徑可能性就越大,蟻群搜索路徑的隨機性減弱。alpha值過小,蟻群搜索范圍就會減少,易陷入局部最優解。（感覺1或者2就挺好）

beta -> 啟發函數重要程度因子：

beta值增大,蟻群更容易選擇局部較短路徑,能加快算法的運行速度,但是可能陷入局部最優解（4或5就挺大的了）

 

rho -> 信息素揮發因子：

rho值初始設置為0.1，當rho很小的時候，每條路徑的殘留信息很多，會被反復搜索，增加運行時間。rho設置的很大的時候,會放棄搜索很多有效路徑,可能會忽略最優值。