Best Time to Buy and Sell Stock with Transaction Fee
題目等級：Medium
題目描述：
Your are given an array of integers prices, for which the i-th element is the price of a given stock on day i; and a non-negative integer fee representing a transaction fee.
You may complete as many transactions as you like, but you need to pay the transaction fee for each transaction. You may not buy more than 1 share of a stock at a time (ie. you must sell the stock share before you buy again.)
Return the maximum profit you can make.
Example 1:
Input: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
Output: 8
Explanation: The maximum profit can be achieved by:
Buying at prices[0] = 1
Selling at prices[3] = 8
Buying at prices[4] = 4
Selling at prices[5] = 9
The total profit is ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.
題意：給定一個整數數組 prices，其中第 i 個元素代表了第 i 天的股票價格 ；非負整數 fee 代表了交易股票的手續費用。可以無限次地完成交易，但是每次交易都需要付手續費。返回獲得利潤的最大值。
解題思路（動態規划）：
終於到了買賣股票的最后一道題。。。
有了上一題（冷凍期）的經驗，這道題實際不難了，同樣是無數次情況的一個變形，只不過每次需要交一定的費用。實際很類似，有了上一題狀態的定義，稍加修改就是這個題了。
同樣的，每一天是一個階段，每一階段的決策就是：每天決定買還是賣，而每一天有兩個狀態：手里持有股票、手里沒有股票。
和上題一樣，仍然定義兩個狀態變量：
sell[i]：表示在第i天結束后手里沒有股票的情況下，獲得的最大收益。
hold[i]：表示在第i天結束后手里仍然持有股票的情況下獲得的最大收益。
其狀態轉移也不難分析：
如果當天結束時仍然持有股票，那么有兩種可能：（1）今天剛買的，那么說明前一天結束的時候手里沒有股票了，即hold[i]=sell[i-1]-prices[i]. （2）以前就買了，今天啥也沒干，也沒買也沒賣，換句話說就是前一天結束的時候手里已經有了，即：hold[i]=hold[i-1]。
如果當天結束的時候手里沒有股票，那么說明也有兩種可能：（1）今天剛賣了， 也就是說前一天結束的時候手里還是持有股票的，而今天賣的時候還有交納費用，所以：sell[i]=hold[i-1]+prices[i]-fee.（2）以前就賣了，今天啥也沒干，那說明前一天結束的時候手里已經沒有股票了，所以：sell[i]=sell[i-1].
綜合起來，就可以得到狀態轉移方程：
hold[i]=max(sell[i-1]-prices[i],hold[i-1])
sell[i]=max(hold[i-1]+prices[i]-fee,sell[i-1])
初始條件還是一樣的，第一天的時候不可能賣出，一定會買入，這實際上還是貪心思想的一種體現，第一天可以買一定是會買的，在處理不限次數的交易時，已經證明了這種貪心思想的正確性，所以sell[0]=0，而hold[0]=-prices[0].
最后，根據以上分析給出以下代碼：
public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
if(prices==null || prices.length==0)
return 0;
int len=prices.length;
int[] sell=new int[len];
int[] hold=new int[len];
sell[0]=0;
hold[0]=-prices[0];
for(int i=1;i<len;i++){
sell[i]=Math.max(sell[i-1],hold[i-1]+prices[i]-fee);
hold[i]=Math.max(sell[i-1]-prices[i],hold[i-1]);
}
return sell[len-1];
}
}
時間復雜度：O(n)，空間復雜度：O(2n)
總結
本題是買賣股票6道題的最后一題了，做一個簡單的總結，這一系列題目是動態規划和貪心思想的運用。我們可以看到：實際上在冷凍期和需要費用的這兩道題目中定義的兩個狀態sell和hold是可以解決所有的不限制交易次數的題目的，包括我們的無數次交易也可以通過這兩個狀態來寫出轉移方程，因為不管條件如何變，只要沒有限制交易次數，每天的狀態都還是這兩個。而限制了交易次數的，狀態就會復雜一些，就需要一個二維狀態，這也就是在允許交易K次的題目中我們給出的方法。
因此，到此為止，不管股票買賣這道題再給出什么條件，我們都可以做了，因為限制次數的和不限制次數的兩種情況下的狀態我們都清楚了，只需要根據不同的條件寫出轉移方程就可以了。
兩次交易：【LeetCode】123、買賣股票的最佳時機 III
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無數次交易含冷凍期：【LeetCode】309、最佳買賣股票時機含冷凍期
無數次交易含交易費用：【LeetCode】714、買賣股票的最佳時機含手續費