【圖論】有向無環圖的拓撲排序

1. 引言

有向無環圖（Directed Acyclic Graph, DAG）是有向圖的一種，字面意思的理解就是圖中沒有環。常常被用來表示事件之間的驅動依賴關系，管理任務之間的調度。拓撲排序是對DAG的頂點進行排序，使得對每一條有向邊(u, v)，均有u（在排序記錄中）比v先出現。亦可理解為對某點v而言，只有當v的所有源點均出現了，v才能出現。

下圖給出有向無環圖的拓撲排序：

下圖給出的頂點排序不是拓撲排序，因為頂點D的鄰接點E比其先出現：

2. 算法原理與實現

拓撲排序的實現算法有兩種：入度表、DFS，其時間復雜度均為O(V+E)O(V+E)。

入度表

對於DAG的拓撲排序，顯而易見的辦法：

• 找出圖中0入度的頂點；
• 依次在圖中刪除這些頂點，刪除后再找出0入度的頂點；
• 然后再刪除……再找出……
• 直至刪除所有頂點，即完成拓撲排序

為了保存0入度的頂點，我們采用數據結構棧（亦可用隊列）；算法的可視化可參看這里。

圖用鄰接表（adjacency list）表示，用數組inDegreeArray[]記錄結點的入度變化情況。C實現：

// get in-degree array int *getInDegree(Graph *g) { int *inDegreeArray = (int *) malloc(g->V * sizeof(int)); memset(inDegreeArray, 0, g->V * sizeof(int)); int i; AdjListNode *pCrawl; for(i = 0; i < g->V; i++) { pCrawl = g->array[i].head; while(pCrawl) { inDegreeArray[pCrawl->dest]++; pCrawl = pCrawl->next; } } return inDegreeArray; } // topological sort function void topologicalSort(Graph *g) { int *inDegreeArray = getInDegree(g); Stack *zeroInDegree = initStack(); int i; for(i = 0; i < g->V; i++) { if(inDegreeArray[i] == 0) push(i, zeroInDegree); } printf("topological sorted order\n"); AdjListNode *pCrawl; while(!isEmpty(zeroInDegree)) { i = pop(zeroInDegree); printf("vertex %d\n", i); pCrawl = g->array[i].head; while(pCrawl) { inDegreeArray[pCrawl->dest]--; if(inDegreeArray[pCrawl->dest] == 0) push(pCrawl->dest, zeroInDegree); pCrawl = pCrawl->next; } } }

時間復雜度：得到inDegreeArray[]數組的復雜度為O(V+E)O(V+E)；頂點進棧出棧，其復雜度為O(V)O(V)；刪除頂點后將鄰接點的入度減1，其復雜度為O(E)O(E)；整個算法的復雜度為O(V+E)O(V+E)。

DFS

在DFS中，依次打印所遍歷到的頂點；而在拓撲排序時，頂點必須比其鄰接點先出現。在下圖中，頂點5比頂點0先出現，頂點4比頂點1先出現。

在DFS實現拓撲排序時，用棧來保存拓撲排序的頂點序列；並且保證在某頂點入棧前，其所有鄰接點已入棧。DFS版拓撲排序的可視化參看這里。

C實現：

/* recursive DFS function to traverse the graph, * the graph is represented by adjacency list */ void dfs(int u, Graph *g, int *visit, Stack *s) { visit[u] = 1; AdjListNode *pCrawl = g->array[u].head; while(pCrawl) { if(!visit[pCrawl->dest]) dfs(pCrawl->dest, g, visit, s); pCrawl = pCrawl->next; } push(u, s); } // the topological sort function void topologicalSort(Graph *g) { int *visit = (int *) malloc(g->V * sizeof(int)); memset(visit, 0, g->V * sizeof(int)); Stack *s = initStack(); int i; for(i = 0; i < g->V; i++) { if(!visit[i]) dfs(i, g, visit, s); } // the order of stack element is the sorted order while(!isEmpty(s)) { printf("vertex %d\n", pop(s)); } }

時間復雜度：應與DFS相同，為O(V+E)O(V+E)。

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完整代碼在Github。