1. 引言
有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）是有向图的一种，字面意思的理解就是图中没有环。常常被用来表示事件之间的驱动依赖关系，管理任务之间的调度。拓扑排序是对DAG的顶点进行排序，使得对每一条有向边(u, v)，均有u（在排序记录中）比v先出现。亦可理解为对某点v而言，只有当v的所有源点均出现了，v才能出现。
下图给出有向无环图的拓扑排序：
下图给出的顶点排序不是拓扑排序，因为顶点D的邻接点E比其先出现：
2. 算法原理与实现
拓扑排序的实现算法有两种：入度表、DFS，其时间复杂度均为O(V+E)O(V+E)。
入度表
对于DAG的拓扑排序，显而易见的办法：
- 找出图中0入度的顶点；
- 依次在图中删除这些顶点，删除后再找出0入度的顶点；
- 然后再删除……再找出……
- 直至删除所有顶点，即完成拓扑排序
为了保存0入度的顶点，我们采用数据结构栈（亦可用队列）；算法的可视化可参看这里。
图用邻接表（adjacency list）表示，用数组inDegreeArray[]记录结点的入度变化情况。C实现：
// get in-degree array int *getInDegree(Graph *g) { int *inDegreeArray = (int *) malloc(g->V * sizeof(int)); memset(inDegreeArray, 0, g->V * sizeof(int)); int i; AdjListNode *pCrawl; for(i = 0; i < g->V; i++) { pCrawl = g->array[i].head; while(pCrawl) { inDegreeArray[pCrawl->dest]++; pCrawl = pCrawl->next; } } return inDegreeArray; } // topological sort function void topologicalSort(Graph *g) { int *inDegreeArray = getInDegree(g); Stack *zeroInDegree = initStack(); int i; for(i = 0; i < g->V; i++) { if(inDegreeArray[i] == 0) push(i, zeroInDegree); } printf("topological sorted order\n"); AdjListNode *pCrawl; while(!isEmpty(zeroInDegree)) { i = pop(zeroInDegree); printf("vertex %d\n", i); pCrawl = g->array[i].head; while(pCrawl) { inDegreeArray[pCrawl->dest]--; if(inDegreeArray[pCrawl->dest] == 0) push(pCrawl->dest, zeroInDegree); pCrawl = pCrawl->next; } } }时间复杂度：得到inDegreeArray[]数组的复杂度为O(V+E)O(V+E)；顶点进栈出栈，其复杂度为O(V)O(V)；删除顶点后将邻接点的入度减1，其复杂度为O(E)O(E)；整个算法的复杂度为O(V+E)O(V+E)。
DFS
在DFS中，依次打印所遍历到的顶点；而在拓扑排序时，顶点必须比其邻接点先出现。在下图中，顶点5比顶点0先出现，顶点4比顶点1先出现。
在DFS实现拓扑排序时，用栈来保存拓扑排序的顶点序列；并且保证在某顶点入栈前，其所有邻接点已入栈。DFS版拓扑排序的可视化参看这里。
C实现：
/* recursive DFS function to traverse the graph, * the graph is represented by adjacency list */ void dfs(int u, Graph *g, int *visit, Stack *s) { visit[u] = 1; AdjListNode *pCrawl = g->array[u].head; while(pCrawl) { if(!visit[pCrawl->dest]) dfs(pCrawl->dest, g, visit, s); pCrawl = pCrawl->next; } push(u, s); } // the topological sort function void topologicalSort(Graph *g) { int *visit = (int *) malloc(g->V * sizeof(int)); memset(visit, 0, g->V * sizeof(int)); Stack *s = initStack(); int i; for(i = 0; i < g->V; i++) { if(!visit[i]) dfs(i, g, visit, s); } // the order of stack element is the sorted order while(!isEmpty(s)) { printf("vertex %d\n", pop(s)); } }时间复杂度：应与DFS相同，为O(V+E)O(V+E)。
完整代码在Github。