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中綴表達式（中綴記法）
中綴表達式是一種通用的算術或邏輯公式表示方法，操作符以中綴形式處於操作數的中間。中綴表達式是人們常用的算術表示方法。
雖然人的大腦很容易理解與分析中綴表達式，但對計算機來說中綴表達式卻是很復雜的，因此計算表達式的值時，通常需要先將中綴表達式轉換為前綴或后綴表達式，然后再進行求值。對計算機來說，計算前綴或后綴表達式的值非常簡單。
前綴表達式（前綴記法、波蘭式）
前綴表達式的運算符位於操作數之前。
前綴表達式的計算機求值：
從右至左掃描表達式，遇到數字時，將數字壓入堆棧，遇到運算符時，彈出棧頂的兩個數，用運算符對它們做相應的計算（棧頂元素 op 次頂元素），並將結果入棧；重復上述過程直到表達式最左端，最后運算得出的值即為表達式的結果。
例如前綴表達式“- × + 3 4 5 6”：
(1) 從右至左掃描，將6、5、4、3壓入堆棧；
(2) 遇到+運算符，因此彈出3和4（3為棧頂元素，4為次頂元素，注意與后綴表達式做比較），計算出3+4的值，得7，再將7入棧；
(3) 接下來是×運算符，因此彈出7和5，計算出7×5=35，將35入棧；
(4) 最后是-運算符，計算出35-6的值，即29，由此得出最終結果。
可以看出，用計算機計算前綴表達式的值是很容易的。
詳細解釋：http://blog.csdn.net/antineutrino/article/details/6763722/
給出一個中綴表達式如下：
a+b*c-(d+e)
第一步：按照運算符的優先級對所有的運算單位加括號，
式子變成了：((a+(b*c))-(d+e))
第二步：轉換前綴與后綴表達式
前綴：把運算符號移動到對應的括號前面
則變成了：-( +(a *(bc)) +(de))
把括號去掉：-+a*bc+de 前綴式子出現
后綴：把運算符號移動到對應的括號后面
則變成了：((a(bc)* )+ (de)+ )-
把括號去掉：abc*+de+- 后綴式子出現
<1> 將中綴表達式“1+((2+3)*4)-5”轉換為前綴表達式。
（1）構建兩個棧，一個存運算符一個存操作數。運算符（以括號分界點）在棧內遵循越往棧頂優先級不降低的原則排序。
（2）從右往左掃描中綴式表達式，從右邊第一個字符開始判斷。
如果當前字符是數字，則分配到數字串的結尾並將數字串直接輸出。
如果是運算符，則比較優先級。如果當前運算符的優先級大於等於棧頂運算符的優先級(當棧頂是括號時，直接入棧)，則將運算符直接入棧；否則將棧頂運 算符出棧並輸出，直到當前運算符的優先級大於等於棧頂運算符的優先級(當棧頂元素是括號直接入棧)，再將當前運算符入棧。如果是括號，則根據括號的 方向進行處理。如果是括號直接入棧；否則，遇右括號前將所有的運算符全部出棧並輸出，遇右括號后將左右的兩括號一起刪除。
（3）重復上述操作(2)直至掃描結束，將棧內剩余運算符全部出棧並輸出，再將綴輸出字符串。中綴表達式就變成了前綴表達式了。
| 中綴表達式 |
前綴表達式 |
（棧頂）運算符棧（棧尾） |
說明 |
| 5 |
5 |
空 |
5，是數字串直接輸出 |
| - |
5 |
- |
-，棧內無運算符，直接入棧 |
| ） |
5 |
-） |
)，直接入棧 |
| 4 |
5 4 |
-） |
4，是數字串直接輸出 |
| * |
5 4 |
-）* |
*，棧頂是括號，直接入棧 |
| ) |
5 4 |
- ) * ) |
)，直接入棧 |
| 3 |
5 4 3 |
- ) * ) |
3，是數字串直接輸出 |
| + |
5 4 3 |
- ) * ) + |
+，棧頂是括號，直接入棧 |
| 2 |
5 4 3 2 |
- ) * )+ |
2，是數字串直接輸出 |
| ( |
5 4 3 2+ |
- ) * |
(， |
| ( |
5 4 3 2+* |
- |
(， |
| + |
5 4 3 2+* |
-+ |
+，優先級大於等於棧頂運算符，直接入棧 |
| 1 |
5 4 3 2+*1 |
-+ |
1，是數字串直接輸出 |
| 空 |
5 4 3 2+*1+- |
空 |
掃描結束，將棧內剩余運算符全部出棧並輸出 |
| 空 |
- + 1 * + 2 3 4 5 |
空 |
逆綴輸出字符串 |
【2】中綴表達式轉換為后綴表達式
過程和【1】差不多，只不過是從左往右掃描，方向換了一個，其他一樣。
還是這個式子：1+((2+3)*4)-5
| 中綴表達式 |
后綴表達式 |
（棧頂）運算符棧（棧尾） |
說明 |
| 1 |
1 |
空 |
1，是數字串直接輸出 |
| + |
1 |
+ |
+，棧內無運算符，直接入棧 |
| （ |
1 |
+（ |
（，直接入棧 |
| （ |
1 |
+（（ |
（，直接入棧 |
| 2 |
1 2 |
+（（ |
2 ，數字 |
| + |
1 2 |
+（（+ |
+，直接入棧 |
| 3 |
1 2 3 |
+（（+ |
3，是數字串直接輸出 |
| ） |
1 2 3 + |
+（ |
碰到 ）找到（之前所有符號彈出出 |
| * |
1 2 3 + |
+（* |
* |
| 4 |
1 2 3 + 4 |
+（* |
4 |
| ） |
1 2 3 + 4 * |
+ |
碰到 ）找到（之前所有符號彈出出 |
| - |
1 2 3 + 4 * |
+ - |
- |
| 5 |
1 2 3 + 4 *5 |
+ - |
5 |
| 空 |
1 2 3 + 4 *5 - + |
空 |
掃描結束 |
| 空 |
1 2 3 + 4 *5 - + |
空 |
逆綴輸出字符串 |
后綴表達式逆向求解中綴表達式
1 2 3 + 4 *5 - +
基本思路和上面的一樣：遞歸，碰到操作符就進入遞歸。
從左往右掃描先碰到+號，取+號前面兩個操作數：2，3 得到：2+3.
繼續往下掃碰到*號，取4 和2+3 得到：（2+3）*4
-號，取（2+3）*4和5得到：：（2+3）*4-5
+號：取（2+3）*4-5和1得到：：1+（2+3）*4-5