量子糾纏是量子物理的基本性質，他描述的是：當幾個粒子相互作用后，無法單獨描述各個粒子的性質，只能整體描述，本文主要介紹兩個量子比特之間的糾纏。
量子比特（Qubit）
量子比特是量子計算的基本單位，就像經典比特是經典計算的基本單位一樣。
但是不同的是，經典比特是確定的，他可以是0，也可以是1，但是一定是確定的0或者1，而量子比特則可能是 $| 0\rangle $ ，可能是 $| 1\rangle $ ，也可能是 \(\alpha_0\) 的平方概率的 $| 0\rangle $ 加上 \(\alpha_1\) 的平方概率的 $| 1\rangle $ ，即所謂的疊加態，用數學來描述如下： \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) （ $\alpha_0 $ 和 $\alpha_1 $ 是復數， \(\alpha_0 ^2+\alpha_1 ^2=1\) ）。在此突然提到的 \(| 0\rangle\) 是狄拉克符號，目前就把它當作是0、1就好。
疊加態是一種存在，但是不能觀測的態。在你沒有觀測的時候，粒子可能是 \(| 0\rangle\) 也可能是 \(| 1\rangle\) ，但是當你觀測了，他就會以 \(\alpha_0\) 的平方概率確定自己在 \(| 0\rangle\) ，或者以 \(\alpha_1\) 的平方概率確定自己在 \(| 1\rangle\) ，無論結果是什么，他會確定一個狀態，再次測量也不會變。
量子比特的物理實體
經典比特，我們用高電平表示1，低電平表示0，那么量子比特呢？
顯然，並沒有一種電平可以一定概率低，一定概率高，但是粒子可以，粒子可以以一定概率處於低能級又一定概率處於高能級。
以氫原子舉例，當電子在基態的時候，我們用 \(| 0\rangle\) 來描述，當電子在激發態的時候，我們用 \(| 1\rangle\) 來描述。
當然粒子除了氫原子還有其他，那么能級也就可能不僅僅是基態、激發態，將會有第一激發態、第二激發態等，這就是k-level system，我們的表示也就是 \(| 0\rangle\) 、 \(| 1\rangle\) 、 \(| 2\rangle\) 了，不過一般，我們都選擇兩個能級的，只用 \(| 0\rangle\) 、 \(| 1\rangle\) 來描述。
除了粒子，光的偏振也能用來表示量子比特，我們將橫着的光用 \(| 0\rangle\) 來描述，縱着的用 \(| 1\rangle\) 來描述。如果將一個橫着的偏振片放在一束斜着45°角的光前，那么每一個光波將以 \(cos^2 \frac{\pi}{4}\) 的概率決定自己是橫着，然后通過光柵，或者以 \(cos^2 \frac{\pi}{4}\) 的概率決定自己縱着，然后被光柵攔下。從宏觀上看，就是我這束光的能量通過偏振片后只有原來的 \(cos^2 \frac{\pi}{4}\) 了，因為其他的被攔住了，通過的光，是純粹的橫着的光，如果在這之后再加上縱着的偏振片，光會全部被攔下，這也就是我們前面說的測量后結果不會再變。
量子的幾何表示
我們將完全處於 \(| 0\rangle\) 或 \(| 1\rangle\) 的態成為純態，他們沒有體現量子疊加的性質，和普通的經典比特沒有什么區別。
一個量子比特的任意疊加態都是他純態的線性組合，我們用 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) 來表示一個任意的疊加態，當然，概率等於一的歸一性原理是要滿足的， \(\alpha_0 ^2+\alpha_1 ^2=1\) 。
將 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) 化簡成 $ \left[ \begin{array}{}{\alpha_0} \ {\alpha_1}\end{array}\right]$ 就是我們喜歡的線性代數表達了，這樣更加的簡潔。
我們可以這么理解這個向量，因為量子態只可能是 \(| 0\rangle\) 或 \(| 1\rangle\) 兩種情況，所以這是一個二維的空間，然后 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 是這個空間的正交基，那么一個量子態就是這個空間的一個單位向量。
一個空間不止一組正交基。
令 \(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|1\rangle\) ， \(|-\rangle = \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle - \frac{1}{\sqrt2}|1\rangle\) ， $|+\rangle $ 和 $|-\rangle $ 又構成了空間的另一組基。我們將 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 的基成為standard basis，$|+\rangle $ 和 $|-\rangle $ 的基稱為sign basis。
兩比特的量子系統
單量子比特的系統，有 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 兩種可能，用 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) 描述。
兩量子比特的系統，有 \(| 0\rangle| 0\rangle\) 、 \(| 0\rangle| 1\rangle\) 、 \(| 1\rangle| 0\rangle\) 、 \(| 1\rangle| 1\rangle\) 四種可能（ \(| 0\rangle\otimes| 0\rangle\) 、 \(| 0\rangle| 0\rangle\) 、 \(| 0 0\rangle\) 都是同一個意思的表達，就是不同的化簡程度， \(\otimes\) 是張量積的意思），則我們可以用 \(\alpha_{00} | 00\rangle+\alpha_{01} | 01\rangle+\alpha_{10} | 10\rangle+\alpha_{11} | 11\rangle\) 來描述， \(\alpha_{00}^2\) 是測量時落在 \(| 0 0\rangle\) 的概率，同樣，他們的平方加起來的概率為1。
對於一個兩量子比特的系統，如果我們測量第一個粒子，得到 \(| 0\rangle\) ，那么第二個粒子的狀態則為： \(\frac{\alpha_{00} | 0\rangle+\alpha_{01} | 1\rangle}{\sqrt{\alpha_{00} ^2+\alpha_{01}^2 }}\) (第一個粒子為一的可能就消除了，下面的分母是為了保證概率的歸一性)
從另一個角度思考，每一個比特都是 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) ，那么我是否可以用 \((\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle)(\beta_0 | 0\rangle +\beta_1 | 1\rangle)\) 的乘積來描述兩個比特的系統呢？
NO
不是每一個兩量子比特系統都可以分解成兩個單量子比特系統的乘積形式。
比如，著名的Bell態： \(\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle\)
對於這樣的系統，你沒有辦法將他分成兩個單獨的系統來描述，我們稱這樣的態為糾纏態。
假設兩個量子系統A和B的聯合狀態為 \(\rho_{AB}\) ，單獨的狀態為 \(\rho_{A}\) 和 \(\rho_{B}\) ，如果可以寫成以下形式 \(\rho_{\mathrm{AB}}=\sum_{\mathrm{k}} p_{k} \rho_{k}^{A} \otimes \rho_{k}^{B}\) ， \(p_k\) 加起來和為一，如果可以，則說明這個態時可分態，否則就是糾纏態。
Bell態
對於一對bell態的粒子A、B： \(\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle\)
如果我們測量A，得到的結果是 \(| 0\rangle\) ，那么B不用測量，結果也一定是 \(| 0\rangle\) ，因為這個系統內不存在第一個粒子是 \(| 0\rangle\) ，第二個粒子不是 \(| 0\rangle\) 的可能性。
同理，測量B，A的結果也隨之確定。
Bell態在standard basis和sign basis中的描述時一致的。
證明很簡單，將他們拆開就可以推出來了。
同理，也可以證明態在任意正交基下的描述：
令我新的基為 \(|u\rangle\) 和 \(|u'\rangle\) ， \(|u\rangle\) 肯定可以用 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 來表示，因為 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 是基可以描述這個空間的任意向量，假設 $|u\rangle=a| 0\rangle+b| 1\rangle $ ，則 $|u'\rangle=-b| 0\rangle+a| 1\rangle $ 因為他們相互垂直。
按照上文推導，能得到以下結果：
EPR佯謬
EPR幾個字是Einstein、Podolsky、Rosen這三個大佬名字的首字母。
既然這里有大佬愛因斯坦，他老爺子肯定覺得自己的相對論是對的，即，消息的傳播速度不能超過光速。
第二點，當時的人普遍贊同的定域性理論，即，一個物體只能被周圍的力量影響。如果某一點的行動，要影響到另一點，在中間的空間，例如場，會成為運動的中介。
將這兩點結合來看，如果我有一對粒子，他們相距很遠，在宇宙的兩端，那么我對第一個粒子的作用，一定會隔一段時間才會影響到我的第二個粒子。
不確定性原理
這里我們先提一下量子里的不確定性原理，他指的是：粒子的位置與動量不可同時被確定，位置的不確定性越小，則動量的不確定性越大，反之亦然。
對於不同的案例，他有不同的內涵，在這里，對於一個量子比特來說，當我們確定了，他在 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 這組基下測量有了具體的值，就不可能同時在 $|+\rangle $ 和 $|-\rangle $ 這組基下有確定的值。
一個量子比特可以用以下兩種方式來描述描述是：
我們將 \(|\alpha_0|+|\alpha_1|\) 稱為spread，記作 \(S_{\alpha}\) ，越確定，則S越靠近1，越不確定，則S越靠近 \(\sqrt2\) 。
不確定性原理則是指 $S_{\alpha}S_{\beta} >=\sqrt2 $
我們不可能同時確定一個量子在standard basis和sign basis的值
矛盾
如果我們有一對bell態的量子比特，則他們處於：
如果我們將這對量子放得很遠，那么我在對第一個粒子測量他在standard basis的值時，對第二個粒子測量他在sign basis的值，我是不是就可以同時得到standard basis和sign basis的值了呢？
因為他們放的很遠，所以他們的測量也不會立即影響另一個的結果，影響需要時間來傳播，而在傳播時間內，我就可以測量得到我要的值了。
與不確定性原理矛盾。
這也就是愛因斯坦大佬覺得量子力學不完備的原因，當然，后面證明愛因斯坦大佬錯了，因為他推到結果的一個前提有問題，就是當時大多數人贊同的定域性原理，量子具有非局域性原理，一對粒子隔得再遠，他們的相互影響也可以瞬間完成，我們將這種超距作用成為量子糾纏。
一個小小的注意：
量子糾纏打破了愛因斯坦相對論中信息不能超光速傳播嗎？
沒有。
一對相距很遠的量子比特A、B，雖然無論我測量A的結果是什么，B都可以馬上知道，但是我能拿這個傳遞信息嗎？不能，因為我也不知道我測量A的結果是什么。
參考資料：
Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 2
Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 3
Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 4
Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete' ?