前言
2019年的考試說明中對運算能力的詳細描述是這樣的：會根據法則、公式進行變形和正確運算，能根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑，能根據問題要求進行估算或近似計算。
運算求解能力是思維能力和運算技能的結合。運算包括對數值的計算和近似計算，對數學表達式的變形，對幾何圖形相關幾何量的計算求解等。運算求解能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力。
對運算求解能力的考查，不僅包括數的運算，還包括式的運算，兼顧對算理和邏輯推理的考查。考查主要是以含字母的式的運算為主，包括數字的計算、代數式和某些超越式的恆等變形、集合的運算、解方程與不等式、三角恆等變形、求導運算、概率計算、向量運算和幾何圖形中的計算等。運算結果具有存在性、確定性和最簡性。
運算求解能力是一項基本能力，在代數、三角函數、立體幾何、平面解析幾何、統計與概率、導數、向量等內容中都有所體現。運算的作用不僅是只求出結果，有時還可以輔助證明(以算代證)。運算能力是最基礎的又是應用最廣的一種能力，高考中對運算求解能力的考查主要體現在運算的合理性、准確性、熟練性、簡捷性。
近似計算
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根式：\(\sqrt{2}=1.414\cdots\)；\(\sqrt{3}=1.732\cdots\)；\(\sqrt{5}=2.236\cdots\)；\(\sqrt{10}=3.162\cdots\)；
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分式：\(\cfrac{1}{3}=0.333\cdots\)；\(\cfrac{\pi}{2}=1.57079\cdots\)；
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指數式：\(e=2.718281\cdots\)；\(e^2=7.389\cdots\)；
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對數式：\(lg2\approx 0.3010\)；\(lg3\approx 0.4771\)；\(ln2\approx 0.6931\)；\(lg3\approx 1.097\)；
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三角式：\(sin18^{\circ}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}\)；
典例剖析
分析：\(0.998^6=(1-0.002)^2=1+6\times (-0.002)+15\times (-0.002)^2+\cdots+(-0.002)^6\)
由於\(T_3=15\times (-0.002)^2=0.00006<0.001\)，
即第3項以后的項的絕對值都小於\(0.001\)，
所以從第3項起，以后的項可以忽略不計，
即\(0.998^6=(1-0.002)^2\approx 1+6\times (-0.002)=0.998\)。
故\(0.998^6\)的誤差小於\(0.001\)的近似值是\(0.998\)。
已知公式：\(\cfrac{M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R^3}\)，且已知\(\alpha=\cfrac{r}{R}\)，\(\cfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\approx 3\alpha^3\)，試用\(M_1\)，\(M_2\)，\(R\)表示\(r\)的近似值；
分析：聯系到本年度的Ⅱ卷高考數學題目的解答，首先要突破的是對題意的理解，大體意思就是，給定了一個方程，要求你將方程中的\(r\)求解出來，但是由於是用手工計算，為了降低難度，給了一個近似參考公式，你必須使用這個近似計算公式，才能順利求解。理解了題意之后，還有一個問題，就是該如何使用近似計算公式。由於近似計算中提到了\(\alpha=\cfrac{r}{R}\)，所以我們需要首先讓方程中出現\(\alpha\)，使用\(\cfrac{r}{R}=\alpha\)代換，求解到最后，再使用\(\alpha=\cfrac{r}{R}\)，讓式子中出現\(r\)，計算即可。
解析：給方程的兩邊，同時乘以\(R^2\)，得到$ \cfrac{R\cdot M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{R\cdot M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{R\cdot M_1}{R^3}$，
即\(\cfrac{M_1}{\frac{(R+r)^2}{R^2}}+\cfrac{M_2}{\frac{r^2}{R^2}}=(R+r)\cfrac{M_1}{\frac{R^3}{R^2}}\)，變形得到，
\(\cfrac{M_1}{(1+\alpha)^2}+\cfrac{M_2}{\alpha^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R}\)，即\(\cfrac{M_1}{(1+\alpha)^2}+\cfrac{M_2}{\alpha^2}=(1+\alpha)M_1\)，
然后通分整理，得到，\(\alpha^2M_1+(1+\alpha)^2M_2=(1+\alpha)^3\cdot \alpha^2M_1\)，
則有\((1+\alpha)^2M_2=\alpha^2M_1+(3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5)M_1-\alpha^2M_1\)，
即\((1+\alpha)^2M_2=(3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5)M_1\)，則\(\cfrac{M_2}{M_1}=\cfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\)，
即\(\cfrac{M_2}{M_1}\approx 3\alpha^3\)，則\(\alpha^3\approx \cfrac{M_2}{3M_1}\)，
故\(\alpha\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\)，即\(\cfrac{r}{R}\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\)，則\(r\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\cdot R\)，故選\(D\)。
【解后反思】
- 1、你怎么強化自己的閱讀理解能力都不嫌過分；近似計算的思路分析過程要清楚；運算功底要扎實，到位。
- 2、\((1+\alpha)^3=1+3\alpha+3\alpha^2+\alpha^3\)；\((a\pm b)^3=a^3\mp 3a^2b\pm 3ab^2-b^3\)；
- 3、整個求解過程中的換元法的使用思路：
\(\cfrac{M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R^3}\) \(\xlongequal[同乘以R^2，變形]{為引入\alpha，便於近似計算}\)
\(\stackrel{\frac{r}{R}=>\alpha}{\Longrightarrow} \cfrac{M_1}{(1+\alpha)^2}+\cfrac{M_2}{\alpha^2}=(1+\alpha)M_1\)，
整理變形，得到\(\alpha\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\)， \(\stackrel{\alpha=>\frac{r}{R}}{\Longrightarrow} \cfrac{r}{R}\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\)，
從而得到，\(r\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\cdot R\)，故選\(D\)。
- 4、該題目到底是數學題目還是物理題目？
當你將本題目的物理知識背景都去掉，抽象為“已知公式：\(\cfrac{M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R^3}\)，且已知\(\alpha=\cfrac{r}{R}\)，\(\cfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\approx 3\alpha^3\)，試用\(M_1\)，\(M_2\)，\(R\)表示\(r\)的近似值”，那么此時的題目就是純粹的數學題目，當添加上物理知識背景后，既可以看成物理題，也可以看成數學題，由此我們還能感悟得到，數學這門學科應該是物理、化學、生物等學科的工具學科，當其他具體學科中的問題轉化建立了數學模型后，剩下的求解就是純粹的數學知識了。
我們的問題：不清楚化簡的方向，不清楚化簡的方法。
【分析】本題目考查函數圖像的辨析，需要利用函數的性質求解，函數的性質常包含定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性、特殊值、駐點等等，具體要用到哪些性質往往因題目而異。
法1：由題目先分析函數的奇偶性，設\(g(x)=e^x-e^{-x}\)，則\(g(-x)=e^{-x}-e^x=-g(x)\)，即函數\(g(x)\)為奇函數，又函數\(y=x^2\)為偶函數，故函數\(f(x)\)為奇函數，排除選項A；再由特殊值法，令\(x=3\)，則估算\(f(3)=\cfrac{e^3-e^{-3}}{3^2}\approx\cfrac{2.7^3}{3^2}\approx 2\)，排除C、D；故選B。
法2：還可以利用奇偶性和單調性來解析本題目，奇偶性如上所述；單調性，\(f'(x)=\cfrac{(e^x+e^{-x})x^2-(e^x-e^{-x})\cdot 2x}{(x^2)^2}=\cfrac{(x-2)e^x+(x+2)e^{-x}}{x^3}\)，接下來常規方法是判斷其在\(x>0\)時的准確的單調區間，這時候不但麻煩，而且已經將題目變成了做函數圖像的方法了，不是辨析函數圖像的方法，
此時我們觀察可以看到當\(x>2\)時，\(f'(x)>0\)，故函數\(f(x)\)在\((2，+\infty)\)上單調遞增，故排除C和D，從而選B。
反思：1、弄清楚題目的類型和相應的解法思路是非常必要的。
2、函數的奇偶性的判斷中，有一個常用的方法就是利用性質，比如\(奇+奇=奇，奇\times奇=偶，奇\times偶=奇，奇/偶=奇\)，這些常見的結論一般的高三復習資料上都會有的。
建議：常見函數的奇偶性需要記憶比如，\(f(x)=|x|\)，\(f(x)=e^x+e^{-x}\)，\(f(x)=Acos\omega x\)都是偶函數；\(y=x^3\)，\(y=e^x-e^{-x}\)，\(y=Asin\omega x\)都是奇函數。
分析：由\(sin(A-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{7\sqrt{2}}{26}\)，估算\(A\)為銳角，打開整理得到\(sinA-cosA=\cfrac{7}{13}\)，
結合勾股數\(5，12，13\)可知，\(sinA=\cfrac{12}{13}，cosA=\cfrac{5}{13}\)，
由\(S_{\Delta}=\cfrac{1}{2}bcsinA=\cfrac{1}{2}\times b\times 13\times\cfrac{12}{13}=24\)，解得\(b=4\)，
由余弦定理可得\(a^2=b^2+c^2-2bccosA=16+169-2\times 4\times 13 \times \cfrac{5}{13}=145\)，
故\(a=\sqrt{145}\).
分析：由題目可知，經停該站高鐵列車所有車次為\(40\)個車次，那么利用加權平均數的計算公式就可以求解平均值。
解析：\(\bar{x}=\cfrac{10}{40}\times 0.97+\cfrac{20}{40}\times 0.98+\cfrac{10}{40}\times 0.99=0.98\).
解后反思：聽學生反饋，說是題目理解有誤，他弄不清楚正點率為\(0.98\)的\(20\)個車次里面，到底是不是包含了開始說的那\(10\)個車次，很明顯是不包含的，故正確、准確理解題意很關鍵。
解析：\(f(e)=1-\cfrac{e+1}{e-1}<0\)，\(f(e^2)=2-\cfrac{e^2+1}{e^2-1}=\cfrac{e^2-3}{e^2-1}>0\)，所以\(f(x)\)在\((1，+\infty)\)內有唯一的零點\(x_1\)，即\(f(x_1)=0\)；
分析：形成一個首項為\(9\)，公差為\(30\)的等差數列，由\(9+(n-1)\times 30=450\)，
解得\(n\approx 15.7\)，再用\(n=15\)代入確認，\(9+(15-1)\times 30=429\)，
故在第一組中有\(15\)個人，第二組的第一個號碼為\(429+30=459\)，
再用同樣的思路求解第二組的人數有\(10\)個，故第三組的人數有\(7\)個。
從折線圖中估算平均數和方差、標准差等，