淺談多重背包及其優化

模板來源：codevs 5429

根據背包問題的相關狀態轉移方程，我們不難寫出朴素的算法

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read() {
    int ret=0;
    int op=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') op=-1; c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0') ret=ret*10+c-'0',c=getchar();
    return ret*op;
}
int n,m;
int c[7010],v[7010],num[7010];
int f[7010];
int main() {
    n=read(); m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        c[i]=read(); v[i]=read(); num[i]=read();
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=m;j>=c[i];j--)
            for(int k=0;k<=num[i];k++)
                if(j-c[i]*k>=0)
                    f[j]=max(f[j],f[j-c[i]*k]+v[i]*k);
    printf("%d\n",f[m]);
    return 0;
}

在朴素算法中，我們枚舉每個物品的數量作為決策，這樣大大浪費時間，我們可以將物品二進制拆分來代替枚舉，具體地講，例如某種物品數量為10，那么我們將這個物品的數量拆分成1,2,4,3（相當於把這個數量為10的物品分成四個物品），然后這個問題就轉化成了01背包問題。時間復雜度大大降低。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read() {
    int ret=0;
    int op=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') op=-1; c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0') ret=ret*10+c-'0',c=getchar();
    return ret*op;
}
int n,m,tot;
int f[7010],c[100010],v[100010];
int main() {
    n=read(); m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        int    x=read(),y=read(),z=read();
        int base=1;
        while(z>=base) {
            c[++tot]=x*base;
            v[tot]=y*base;
            z-=base;
            base<<=1;
        }
        if(z>0) {
            c[++tot]=z*x;
            v[tot]=z*y;
        }
    }
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        for(int j=m;j>=c[i];j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+v[i]);
    printf("%d\n",f[m]);
    return 0;
}

 我們繼續考慮優化dp，我們將狀態j按照c[i]的余數分組，顯然，當i為定值時，不同組的狀態不能相互轉移。

我們將倒序循環j的過程，改為對每個余數u∈[0,c[i]-1]，倒序循環p，這樣狀態j=u+p*c[i]。

 於是我們得到了新的狀態轉移方程：

 類比Fence一題，我們便可以使用單調隊列進行優化，這種算法的時間復雜度與普通的背包相等，可以通過本題。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,c[7010],v[7010],num[7010],f[7010];
int q[7010];
inline int read() {
    int ret=0;
    int op=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') op=-1; c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0') ret=ret*10+c-'0',c=getchar();
    return ret*op;
}
inline int calc(int i,int u,int k) {
    return f[u+k*c[i]]-k*v[i];
}
int main() {
    n=read(); m=read();
    memset(f,0xcf,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        c[i]=read(); v[i]=read(); num[i]=read();
        for(int u=0;u<c[i];u++) {
            int l=1,r=0;
            int maxx=(m-u)/c[i];
            for(int k=maxx-1;k>=max(0,maxx-num[i]);k--) {
                while(l<=r&&calc(i,u,q[r])<=calc(i,u,k)) r--;
                q[++r]=k;
            }
            for(int p=maxx;p>=0;p--) {
                while(l<=r&&q[l]>p-1) l++;
                if(l<=r) f[u+p*c[i]]=max(f[u+p*c[i]],calc(i,u,q[l])+p*v[i]);
                if(p-num[i]-1>=0) {
                    while(l<=r&&calc(i,u,q[r])<=calc(i,u,p-num[i]-1)) r--;
                    q[++r]=p-num[i]-1;
                }
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        ans=max(ans,f[i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}