維納-辛欽 (Wiener–Khinchin) 定理

光學里面，維納-辛欽定理講的是光場的能量譜密度和光場的一階相干函數之間的關系。

先規定傅里葉變換為\(F(\omega)=\int f(t)\exp(i\omega t)\text{d}t\)，反變換為\(f(t)=\frac{1}{2\pi}\int F (\omega)\exp(-i\omega t)\text{d}t\).

按此定義，帕塞瓦爾等式就是

\[\int_{-\infty}^\infty|f(t)|^2\text{dt}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty|F(\omega)|^2\text{d}\omega \]

上式左端表征着信號的能量。

對於分布在區域\(V\)內的光場，其能量有電場部分和磁場部分的貢獻。設電場部分表達式為\(E(\vec{r},t)\)，於是電場部分的能量密度為\(\frac{1}{2}\epsilon_0 |E|^2\)；而磁場貢獻和電場相等，於是總能量密度為$$\epsilon_0|E|^2$$ 注意，這里並未取空間平均（只研究固定空間的一點），也沒有對時間取平均。

通過帕塞爾瓦等式可得，處於\(\omega\)到\(\omega+\Delta\omega\)之間的電磁場的能量密度(這里密度僅僅對空間，不對頻率)為

\[\epsilon_0\frac{1}{2\pi}\int_{\omega}^{\omega+\Delta\omega}|F(\omega)|^2\text{d}\omega \]

或者說\(\frac{\epsilon_0}{2\pi}|F(\omega)|^2\)是電磁場的能量密度(這個密度既對空間，也對頻率)，其中\(F(\omega)\)是\(E(\vec{r},t)\)的傅里葉變換。因此有電磁場能量的空間、頻率密度為

\[W=\frac{\epsilon_0}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}E(t')E^*(t)\text{e}^{i\omega (t'-t)}\text{d}t\text{d}t' \]

引入變量\(\tau=t'-t\)則上式變為

\[W=\frac{\epsilon_0}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}E^*(t)E(t+\tau)\text{e}^{i\omega \tau}\text{d}t\text{d}\tau \]

利用一階相干函數的定義

\[G^{(1)}(t,t+\tau)=\langle E^*(t)E(t+\tau)\rangle=\int_{-\infty}^\infty E^*(t)E(t+\tau)\text{d}t \]

假設場是(廣義)平穩的復隨機過程，則\(G^{(1)}(t,t+\tau)=G^{(1)}(\tau)\)，因此

\[W=\frac{\epsilon_0}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}G^{(1)}(\tau)\text{e}^{i\omega t}\text{d}t \]

又因為\(G^{(1)}(-\tau)=G^{(1)*}(\tau)\)，從而上式可以改寫為

\[W=\text{Re} \frac{\epsilon_0}{\pi}\int^\infty_{0}G^{(1)}(\tau)\text{e}^{i\omega t}\text{d}t \]

這就叫做維納-辛欽定理。其實這里的推導是不嚴謹的，因為這里的出發點是對一個確知信號的傅里葉變換及其功率譜密度，而不是一個平穩隨機過程的功率譜密度。嚴謹的證明梗概如下：先定義平穩隨機過程中任一樣本函數的功率譜密度，再求其系綜平均得到該隨機過程的功率譜密度，以此為出發點證明其和相關函數的關系。詳見文獻[2]第1.6節。

對於量子情形，則直接把一階相干函數換成量子光學的版本。注意\(G^{(1)}(-\tau)=G^{(1)*}(\tau)\)依然成立。

對於Scully量子光學書上\(\S9.3\)的式\((9.3.11)\)，真正的能量譜密度應該再此基礎上乘以\(\mathcal{E}^2\epsilon_0\)，而\(\mathcal{E}=\sqrt{\hbar\nu/(\epsilon_0V)}\)，所以應該乘上一個\(\hbar\nu/V\)，再取消對體積的密度(即乘以\(V\))，得到的能量譜密度(僅對頻率的密度)應該是在\((9.3.11)\)基礎上乘以\(\hbar\nu\). 因為能量譜密度=模式密度*一個模式平均占據數*一個光子的能量，因此該能量譜密度除以\(\langle n\rangle\hbar\nu\)就是模式密度，因此\((9.3.12)\)式是對的。

參考
[1] Loudon. The quantum theory of light 3rd (2000).
[2] 高新波. 隨機信號分析 (2009).
[3] Scully. Quantum optics (1997).