最近又遇到了t分布及t檢驗方面的內容，發現有些地方自己當初沒有很明白，就又查了些資料，加深了一下自己的理解，這里也將自己的一些理解記錄下來。
1. 理論基礎——大數定理與中心極限定理
在正式介紹t分布前，還是再強調一下數理統計學中的兩大基石般的定理：大數定理與中心極限定理，后面會用到。這里我就不以數學公式的方式來說明了，直接說一下兩個定理所表達的意思。
- 大數定理。不管是強大數定理還是弱大數定理，都表達着這樣一個意思：當樣本數量足夠大時，這些樣本的均值無限接近總體的期望。
- 中心極限定理。不管樣本總體服從什么分布，當樣本數量足夠大時，樣本的均值以正態分布的形式圍繞總體均值波動。中心極限定理的表達方式可以有多種，我這里只是其中一種。
2. t 統計量
t 統計量是英國化學家、數學家、統計學家 William Sealy Gosset提出的，當年他在愛爾蘭的吉尼斯酒廠（這個酒廠還有個很牛的事兒，它的老板編著了現今著名的《吉尼斯世界紀錄》）工作時，酒廠禁止其將研究成果公開發表，以免泄露秘密，迫不得已William Sealy Gosset以筆名“The Student”發表研究成果，t統計量及t分布的命名就是源於改筆名。
大麥是釀造啤酒的主要原料，因此酒廠就希望大麥產量越高越好，於是就不斷改進大麥種植工藝，此時就需要做試驗來比較不同工藝下大麥的產量，但是實際條件不允許（或者為了減輕工作負擔）大面積種植麥子來比較工藝的優劣，因此試驗田種植是比較合適的方式。比如現在有兩片試驗田（如下圖所示），左邊的是采用工藝A種植的麥子，右邊的是采用工藝B種植的麥子，兩邊各種100株麥子。下面我要開始編故事啦。。。
現在發現左邊麥田中平均每株麥穗上有100粒麥子，右邊麥田中平均每株麥穗上有120粒麥子，這說明啥？說明采用工藝B能得到更高的麥子產量對不？咱們外行可能會這么看，但是人家專業的可不輕易這么認為。這是采用小面積的試驗田種出的麥子，一個是量少，不足以說明問題（想想咱們的大數定理），另一個是無法保證除工藝區別外其它因素都一樣。因此，William Sealy Gosset就想，這20粒麥子的差值能不能說明工藝的優劣問題呢？
William Sealy Gosset知道，每株麥穗上的平均麥子數是有波動的，可能這一次種的麥子平均值是100，下一次就不一定了，可能就是105，也可能是95。那可以這樣考慮啊，這20的差值是不是在工藝A下麥子平均產量的正常波動范圍內？樣本均值的波動可以用樣本均值的標准差表示，注意：這里說的是樣本均值的標准差，而不是樣本的標准差，基於這種想法可以構造這樣一個統計量
來評估工藝的優劣，其中
是工藝A下每株麥穗上結的麥子數，
是工藝B下每株麥穗上結的麥子數，
是工藝A下每株麥穗上結的麥子數平均值的標准差。好了，到了這里故事也編得差不多了，t 統計量的由來也差不多就這樣了，下面咱們嚴謹的定義一下 t 統計量，分兩種情況，一種是單總體情況，另一種是雙總體情況。
- 單總體情況。這種情況下 t 統計量的定義為
式中
為樣本的均值，
為總體的均值，
為總體標准差，
為樣本個數，由於總體標准差無法得知，因此一般用樣本標准差
來估計總體標准差。從數學上可以證明，若樣本個數為，樣本均值的標准差（樣本均值的波動）等於總體的標准差（總體波動）除以樣本個數，我們可以通過大數定理來簡單理解一下，當樣本個數增大時，樣本均值的波動也應該是越小的。總體的標准差是無法獲知的，一般用樣本標准差來估計。這里着重強調一個概念——標准誤，標准誤即樣本均值的標准差，它對於理解假設檢驗很重要。
- 雙總體的情況。這種情況下t 統計量的定義為
式中
為樣本1的均值，
為樣本2的均值，
為樣本1與樣本2均值差值的標准誤。這里我不再說明是怎么計算的了，一個原因是比較復雜，需要分幾種情況討論，另一個更主要的原因是如何計算不重要，計算機內置函數會幫我們計算的，重要的是理解 t 統計量是如何提出的以及表示什么意思。
3. t 分布與正態分布
t 統計量的分布就是 t 分布了，下面我們以單總體時的 t 統計量為例，說明一下 t 分布與正態分布的關系。我們已經知道了樣本的均值為，也知道的標准差為
，那么依據中心極限定理，樣本均值服從均值為，方差為
的正態分布，也許你已經發現了，沒錯，當樣本數量足夠大時，t 分布無限接近標准的正態分布
。
在第一節中也強調了，不管是大數定理還是中心極限定理，都是在樣本數量足夠大時管用的。在樣本數量不是足夠大時，盡管t 分布的概率密度曲線和正態分布分布曲線相近，但是還是有所區別，用樣本標准差估計總體標准差是一個原因。
是t分布的概率密度曲線，這里我不寫出的具體公式了，有興趣的同學可以自行研究，偉大的統計學家們已經研究透測了，並且制作了t分布的概率表。從 t 統計量的定義式看就知道，樣本個數的影響非常關鍵，因此 t 分布中有一個重要的概念——自由度，其值為
。為什么是呢？我拿樣本方差的計算過程來說明吧，樣本方差為
當個樣本均值確定時，如果知道了其中的任意個樣本的值，那么剩下的一個樣本的值自然就確定了，這就是為什么自由度為。這里還是在貼一次t分布的概率表吧。
4. t 檢驗
現在我們再回到一開始的“比較麥子種植工藝A和B的優劣比較”問題， William Sealy Gosset提出的問題是：這20的差值是否在工藝A下麥子平均產量的正常波動范圍內？這實際上是一個雙樣本的 t 檢驗問題，不過可以將其轉化為單樣本的 t 檢驗問題，認為工藝B下麥子的均值也為100，即然后看一下這20的差值是否是顯著的。現在我們提出如下假設
: 工藝B與工藝A下大麥產量一致
上面的例子中沒有給出工藝B下麥子產量的標准差，我這里先假設一個，為
，那么可以按照單樣本的 t 統計量定義式計算此時的統計量值
選定
95%的置信水平，自由度為99（樣本個數為100），查 t 概率分布表得到1.660（自由度99與自由度100接近，我這里就按100算了），這遠小於17.889，因此我們有理由拒絕接受原假設，從而認為工藝B提升了麥子的產量。
5. 小結
對於 t 檢驗，我還想再說兩句，不管是獨立樣本還是相依樣本的 t 檢驗，目的都是為了判斷兩類樣本在某一變量上的均值差異是否顯著，這也是構造 t 檢驗的作用。