前言
本人其實博弈論也學得不咋的，不少蜻蜓點水，並沒有深入地研究，而且知識可以說是大部分抄的書上，但是也特作此文以便自己復習和方便各位神犇。
異或
概念
符號：\(\wedge,xor\)
運算法則：對應二進制位下相異為1,相同為0.
異或和：一堆數的異或起來的值,如\(\{x_1,x_2,..,x_n\}\)的異或和為\(x_1\wedge x_2\wedge ...\wedge x_n=\wedge_{i=1}^n x_i\)。
異或和圖的性質
- 你可以憑空到達任意一個位置
- 環等同於異或空間
- 鏈可以由環更改路徑
性質
- 交換律 \(a\wedge b=b\wedge a\)
- 結合律 \(a\wedge b\wedge c=a\wedge (b\wedge c)\)
- \(a=b\Longleftrightarrow a\wedge c=b\wedge c\)
1.推論： 不同的數異或同一個數得到結果不同 - 不進位的加法
- 異或可以與加法減法對應
線性基
性質：
- 線性基由原序列的一些數構成
- 異或和為0即線性基無法加入該數（應用：異或和為0的判斷）
- 異或空間為2的線性基個數的次方，多次異或沒有意義
- 有n個 不同的 數，設線性基個數k，每個數重復\(2^{n-k}\)次。
證明：
對於k個基，剩下的n-k個數每個數與基所產生的數進行異或，必然值各不相同,所以必然每個值重復一次，於是總的來說重復\(2^{n-k}\)次。
Nim博弈
基礎概念
局面
游戲過程中面臨的狀態。
先手
游戲中第一個行動者。
后手
游戲中第二個行動者。
必敗
在某一局面無論采取什么行動，都會輸掉游戲，則稱該局面必敗。
必勝
在某一局面能采取某種行動，使對手面臨必敗局面，則稱該局面必勝。
Nim博弈
有n堆棋子，第i堆棋子有\(a_i\)顆棋子，對戰雙方輪流從任意一堆棋子取出任意顆棋子，不能取棋子或不取棋子者失敗，問先手是否必勝。
- 注：Nim博弈不存在平局，雙方都將采取最優策略，只有先手必勝和必敗兩種情況。
Nim定理
Nim博弈中，先手必勝當且僅當\(a_1\wedge a_2\wedge...\wedge a_n=\wedge_{i=1}^na_i\neq 0\)。
證明：
博弈論中經常使用數學歸納法證明結論。
考慮邊界，沒有任何棋子，顯然異或和為0。
對於異或和不為0的局面，設\(x=\wedge_{i=1}^na_i\),對於它的最高位考慮，設其為第k位，顯然存在一個數\(a_i\)滿足其第k位上有1,而令\(a_i\wedge=x\),顯然接下來的局面異或和為0,而必然\(a_i\)也變小了，因為它損失了較高的一位上的1，於是因為異或可以和減法對應，我們可以減與異或對應，因此，任何一個異或和不為0的局面都可以將其變為0的局面。
對於異或和為0的局面，顯然無論如何選取，必然下一個局面異或和不為0，因為減可以相當與異或一個數,0異或一個數就是該數。
總上所訴，當先手在局面異或和不為0的情況下，不妨把異或和不為0的局面記做Q,異或和為0記做q，於是不難得知，接下來的局面發展先手可以做到是\(QqQqQq...q\)，所以后手必然面臨必敗局面。
同理，當先手異或和為0,接下來的局勢發展，后手可以做到\(qQqQ...Q\),此時先手必然面臨必敗局面。
於是得證。
公平組合游戲(ICG)
ICG定義
若一個游戲滿足
- 由兩名玩家交替行動。
- 在游戲進程的任意時刻，可以執行的合法行動與輪到哪名玩家無關。
- 不能行動的玩家判負。
則稱該游戲為公平組合游戲。
解決辦法
有向圖游戲
定義
給定一個有向無環圖(DAG)(具有可遞推性)，圖中有唯一一個起點，在起點上放有一枚棋子，兩名玩家交替地把這枚棋子沿有向邊移動，每次可以移動一步，無法移動者判負，該游戲被稱為有向圖游戲
性質
任何一個公平組合游戲，都可以被看作有向圖游戲。
Mex運算
定義
設S為非負整數集合，定義Mex(S)為求出不屬於集合S的最小非負整數的運算，即
性質
- 暴力求時間復雜度\(O(n)\)
- 如果\(Mex(S)=x\)，則集合中必然有\(1-x-1\)的數。
SG函數
定義
在有向圖游戲中，對於每個節點x，設從x出發有k條有向邊，分別到達節點\(y_1,y_2,...,y_k\),定義\(SG(x)\)為x的后繼節點的SG函數值構成的集合進行Mex運算后的結果，即
特別地，整個有向圖游戲G的SG函數值被定義為有向圖游戲起點S的SG函數值，即\(SG(G)=SG(S)\)。
另外對於失敗局面的SG函數值定義為0.
有向圖游戲的和
設\(G_1,G=2,...,G_m\)是m個有向圖游戲，定義有向圖游戲G，它的行動規則是任選某個有向圖\(G_i\)，並在\(G_i\)上行動一步，則G被稱為有向圖游戲的和。
有向圖游戲和的SG函數值被定義為各個子游戲的SG函數值的異或和，即
SG定理
定理1
- 有向圖游戲的某個局面必勝，當且僅當該局面對應的節點的SG函數值大於0.
- 有向圖游戲的某個局面必敗，當且僅當該局面對應的節點的SG函數值等於0.
證明：
對於邊界考慮，顯然末局面即失敗的局面，SG函數值為0。
而對於SG函數值不為0的局面，顯然它的后繼節點存在SG函數值為0的局面，於是對於任意一個SG函數值不為0的局面，都可以到達一個SG函數值為0的局面。
而對於SG函數值為0的局面，顯然它的后繼節點不可能存在SG函數值為0的局面。於是對於任意一個SG函數值為0的局面，只能到達SG函數值不為0的局面。
總上有，當該局面SG函數值不為0,記不為0局面為\(Q\)，為0局面\(Q\),接下來的局面先手一定可以這樣發展\(QqQqQq...q\),使后手面臨必敗局面。
當該局面的SG函數值為0,后手必然可以使局面按\(qQqQ...q\)發展，而先手必然面臨必敗局面。
所以得證。
定理2
多個有向圖游戲組成的游戲\(\{G_i,n\}\)必勝，當且僅當有向圖游戲的和的SG函數值不為0.
證明：
對於末局面，顯然有向圖游戲的和SG函數值為0。
對於有向圖游戲和SG函數值不為0的局面，記\(x=\wedge_{i=1}^nSG(G_i)\),記最高位為第k位，必然有一個\(SG(G_i)\)滿足其第k位不為0,而因為Mex操作的性質和異或與減法的對應，令\(SG(G_i)\wedge=x\),我們必然可以將其變為小於\(SG(G_i)\),且接下來的局面有向圖游戲的異或和為0.
對於有向圖游戲和SG函數值為0的局面，不論怎樣操作，必然下一個局面不為0.
於是，對於有向圖游戲和SG函數值不為0的局面，記不為0\(Q\),為0\(q\)，先手必然可以按照\(QqQq...q\)發展，使后手必敗，同理，為0的局面，后手也可以按照\(qQ...Q\)發展，於是先手必敗。
故得證。
理解
Nim游戲
其實Nim游戲就是特殊的公平組合游戲（ICG），自然也可以利用公平組合游戲證明，它是多個有向圖游戲組成的游戲，末狀態一定每個子游戲是全部面臨必敗局面。
證明：
在Nim游戲中，對於一個子圖而言，即有多少枚棋子，不妨有i枚棋子記做\(i\),於是它的SG函數值記做\(SG(i)\)
對於初始狀態，即必敗局面，必然\(SG(0)=0\),設\(SG(0)=0,SG(1)=1,...,SG(i-1)=i-1\),設\(SG(i)\)它所算出用的集合為\(\{SG(0),SG(1),...,SG(i-1)\}\),即\(\{0,1,2,...,i-1\}\),不難得知結果為i，於是根據數學歸納法\(SG(i)=i\)。
根據ICG定理2,公平組合游戲的和為\(\wedge_{i=1}^n SG(a_i)=\wedge_{i=1}^n a_i)\)，故得證。
套路小結
異或
定位：博弈論中結論常聯系的地方
思考方向：
- 最高位
博弈論證明
- 數學歸納法
- 反證法
問題轉化辦法
- 階梯博弈，捆綁法
習題
新新Nim游戲
有k組棋子，每組棋子有若干堆棋子，給出\(a[i][j]\)，表示第i組棋子第j堆棋子的棋子個數，兩名玩家輪流行動，每次操作可以可以選擇一組中的一堆棋子拿走任意多顆棋子，不能行動的玩家失敗，詢問先手是否必勝，\(\sum_{i=1}^k|a[i]|\leq 10^8\)。
勇士
給出一個\(n\times m\)的網格圖，有些位置存在障礙物，顯然坐標已經給出，有一個棋子放在位置\((1,1)\)，兩名玩家輪流操作，每次可以選擇棋子向下移動或者向右移動，不能移動的玩家判負，詢問先手是否必勝，\(n\times m\leq 10^8\)。
尾聲
筆者本來以為自己能很輕松學會博弈論，結果到現在還是沒有真正學會，可能會因此面臨\(AFO\)，但是所留下來的學習資源，希望能讓讀者走的更遠。