與圖論的邂逅06:dfs找環

當我在准備做基環樹的題時，經常有了正解的思路確發現不會找環,,,,,,因為我實在太蒻了。

所以我准備梳理一下找環的方法：

有向圖

先維護一個棧，把遍歷到的節點一個個地入棧。當我們從一個節點x回溯時無非兩種情況：

1.從x延伸出去的環已經被找完；

2.從x延伸出去的地方並沒有環；

也就是說從x延伸出去的地方包括x都已經對我們現在毫無意義了。所以說，當一個點回溯時，把它出棧。

當下一步要到的點在棧中，那說明找到了環。此時把棧中的節點拎出來打上標記即可。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define maxn 500001
using namespace std;

struct  edge{
    int to,next;
    edge(){}
    edge(const int &_to,const int &_next){ to=_to,next=_next; }
}e[maxn];
int head[maxn],k;

int stack[maxn],top;
bool vis[maxn],instack[maxn],inloop[maxn];
int n,m;

inline int read(){
    register int x(0),f(1); register char c(getchar());
    while(c<'0'||'9'<c){ if(c=='-') f=-1; c=getchar(); }
    while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
inline void add(const int &u,const int &v){
    e[k]=edge(v,head[u]);
    head[u]=k++;
}

void dfs(int u){
    vis[u]=instack[u]=true,stack[++top]=u;
    for(register int i=head[u];~i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(!vis[v]) dfs(v);
        else if(instack[v]){
            int w,t=top;
            do{
                w=stack[t--],instack[w]=false,inloop[w]=true;
            }while(w!=v);
        }
    }
    instack[u]=false,top--;
}

int main(){
    memset(head,-1,sizeof head);
    n=read(),m=read();
    for(register int i=1;i<=m;i++){
        int u=read(),v=read();
        add(u,v);
    }
    for(register int i=1;i<=n;i++) if(!vis[i]) dfs(i);
    for(register int i=1;i<=n;i++) printf("%d:%d\n",i,inloop[i]);
    return 0;
}

感性地理解一下還是能懂的？

無向圖

如果你用上面的方法來跑無向圖......你會發現紅得好凄慘

原因是：把無向邊也當成了環。

所以我們得換個方法。可以先跑個搜索樹出來，並記錄fa數組表示圖中節點在搜索樹上的父親節點，並記錄下搜索的時間戳dfn。當下個節點的dfn為0時，往下走；否則找到了環。

如果你真的像上面那樣做了，你會發現同一個環被記錄了兩次。如果你想優化常數，你當然不願意這種事發生；或者你想把環上節點輸出而不只是打個標記而已，你就更不能讓它發生了。這時我們記錄的dfn才是真正發揮作用的時候。我們可以判斷一下當前點和下個點的時間戳的大小關系。為了能夠輸出環上節點，我們才記錄了fa數組，這時它就發揮作用了：可以通過不斷遍歷fa數組把環輸出。但關鍵就是大小關系是什么？隨便寫一個嗎？肯定不是。可以知道dfn[fa[x]]<dfn[x]，所以我們應該從環上dfn值最大的點開始往回走。所以說，用來判斷的大小關系為：if(當前節點的dfn值小於下一個點) then 從下一個點開始遍歷fa數組。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define maxn 500001
using namespace std;

struct  edge{
    int to,next;
    edge(){}
    edge(const int &_to,const int &_next){ to=_to,next=_next; }
}e[maxn<<1];
int head[maxn],k;

int dfn[maxn],fa[maxn],tot;
int n,m;

inline int read(){
    register int x(0),f(1); register char c(getchar());
    while(c<'0'||'9'<c){ if(c=='-') f=-1; c=getchar(); }
    while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
inline void add(const int &u,const int &v){
    e[k]=edge(v,head[u]);
    head[u]=k++;
}

void dfs(int u){
    dfn[u]=++tot;
    for(register int i=head[u];~i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa[u]) continue;
        if(!dfn[v]) fa[v]=u,dfs(v);
        else if(dfn[u]<dfn[v]){
            printf("%d",v);
            do{
                printf(" %d",fa[v]),v=fa[v];
            }while(v!=u);
            puts("");
        }
    }
}

int main(){
    memset(head,-1,sizeof head);
    n=read(),m=read();
    for(register int i=1;i<=m;i++){
        int u=read(),v=read();
        add(u,v),add(v,u);
    }
    for(register int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) dfs(i);
    return 0;
}

不過無向圖的算法就找不出一元環了。但哪題用到了一元環呢？

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兩個算法的復雜度都是O(N)。