素數：
也稱質數、不可約數，不存在非平凡因子。
平凡因子：
即對於任意數\(n\)都至少存在兩個因子，一個是\(1\)，另一個是\(n\)本身，我們就叫它倆為\(n\)的平凡因子，其他的，都為n的不平凡因子。
性質：
設\(\pi (n)\)為不超過\(n\)的質數個數
那么，\(\pi (n) \backsim \frac {n}{\ln n}\)（\(n\)越大，估計的越准確）
質因數分解：
Code：
inline int factorize(int x,int p[]) {
int cnt=0;
for(int i=2; i*i<=x; ++i) {
if(x%i==0) {
p[cnt++]=i;
x/=i;
}
}
if(x>1) p[cnt++]=x;
return cnt;
}
例題：
質數有無限個，如何證明？
反證法：假設質數是有限的
\(\because假設為p_1,p_2,\cdots p_n\)
\(\therefore M=p_1*p_2*\cdots p_n+1\)
\(又\therefore M \bmod p_1=1\)
\(M \bmod p_2=1\)
\(\cdots\)
\(M \bmod p_n=1\)
\(\therefore M \bmod 任何質數都是1，M不是任何質數的倍數，M是質數，與假設沖突，所以質數有無限個\)
這樣一想，求它是不是就有很多種方法啦~（\(Emma,19260817\)是個質數）
1.一個毒瘤的判斷素數法子（跑的賊快的那種,時間復雜度 \(O(\sqrt{n}/3)\)）:
首先看一個關於質數分布的規律：
\(\geq5\)的質數一定和\(6\)的倍數相鄰。
\(證明：令x\geq 1，將\geq 5的自然數表示如下：\)
\(\cdots 6x-1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,6x+5,6(x+1),6(x+1)+1 \cdots\)
\(可以看到,不和6的倍數相鄰的數為6x+2,6x+3,6x+4,由於2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2),所以它們一定不是素數,再除去6x本身,顯然,素數要出現只可能出現在6x的相鄰兩側。\)
這種方法裁剪了不和\(6\)的倍數相鄰的數，雖然都沒有降低時間復雜度的階數，但都一定程度上加快了判斷的速度。
inline int prime(int n) {
if(n==1) return false;
if(n==2 || n==3) return true;
if(n%6!=1 && n%6!=5) return false;
for(register int i=5; i<=sqrt(n); i+=6)
if(n%i==0 || n%(i+2)==0) return false;
return true;
}
2.非常朴素的一種算法(判斷有沒有能整除的數)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
int n;
cin>>n;
for(int i=2; i<=n; i++) {
if(n%i==0) {
cout<<"flase";
return 0;
} else {
cout<<"true";
return 0;
}
}
}
3.網絡上流傳的素數打表：
/*
遇到素數需要打表時，先估算素數的個數：
num = n / lnx;
num為大概數字，越大誤差越小（只是估計，用於估算素數表數組大小）
這個打表法效率貌似很高，網上說幾乎達到了線性時間（不知道是真是假=。=）
*/
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define maxn 10000000
using namespace std;
bool visit[maxn+1000000];
int prime[maxn],n; ///prime的大小大概估計一下再開數組。大概是（x/lnx）
void getprime() {
memset(visit, false, sizeof(visit));
int num = 0;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
if ( !visit[i] ) prime[++num] = i;
for (int j = 1; j <= num && i * prime[j] <= n ; j++) {
visit[ i * prime[j] ] = true;
if (i % prime[j] == 0) break;
}
}
for(int i=2;i<=n;i++){
if(visit[i]==false)
cout<<i<<' ';
}
}
int main() {
freopen("素數打表.txt","w",stdout);
scanf("%d",&n);
getprime();
return 0;
}
4.弟弟一般的朴素打表：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int g_g(int x) {
int flag=1;
for(int i=2; i<=sqrt(x); ++i) {
if(x%i==0)
flag=0;
}
if(flag==1)
return 1;
else
return 0;
}
int main() {
freopen("sushu.out","w",stdout);
for(int i=9784010; i<=100000000; ++i) {
if(g_g(i)) {
cout<<i<<",";
}
}
return 0;
}
5.有點小優化的朴素判斷：
bool isprime(int n) {
if(n<2)return false;
if(n==2) return true;
for(int i=2; i<=sqrt(n); i++)
if(n%i==0)
return false;
return true;
}
6.埃氏篩總得聽過吧（stm找的一個代碼得明白）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int fw;
int kk;
bool a[100000000];
int main()
{
cin>>n>>m;
memset(a,0,sizeof(a));
fw=sqrt(n+0.5);//防止四舍五入
a[1]=1;//不判斷一，直接賦值
for(int i=2;i<=fw;i++)//從二的倍數開始找
{
if(a[i]==0)//優化一，只有在a[i]不是合數下判斷。
{
for(int j=i*i;j<=n;j+=i)//j=i*i,是重點，應為2*i等已經被判斷過了
a[j]=1;
}
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>kk;
if(a[kk]==0)
cout<<"Yes"<<endl;
else
cout<<"No"<<endl;
}
return 0;
}
7.miller rabin 算法（很**，反正我不會）
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <map>
#define ll long long
using namespace std;
const int times = 20;
int number = 0;
map<ll, int>m;
ll Random(ll n) { //生成[ 0 , n ]的隨機數
return ((double)rand()/RAND_MAX*n+0.5);
}
ll q_mul(ll a, ll b, ll mod) { //快速計算 (a*b) % mod
ll ans=0;
while(b) {
if(b&1) {
b--;
ans=(ans+a)%mod;
}
b/=2;
a=(a+a)%mod;
}
return ans;
}
ll q_pow(ll a,ll b,ll mod) { //快速計算 (a^b) % mod
ll ans=1;
while(b) {
if(b&1) {
ans=q_mul(ans,a,mod );
}
b/=2;
a=q_mul(a,a,mod);
}
return ans;
}
bool witness(ll a,ll n) { //miller_rabin算法的精華
//用檢驗算子a來檢驗n是不是素數
ll tem=n-1;
int j=0;
while(tem%2==0) {
tem/=2;
j++;
}
//將n-1拆分為a^r * s
ll x=q_pow(a,tem,n); //得到a^r mod n
if(x==1||x==n-1) return true;//余數為1則為素數
while(j--) { //否則試驗條件2看是否有滿足的 j
x=q_mul(x,x,n);
if(x==n-1)return true;
}
return false;
}
bool miller_rabin(ll n) { //檢驗n是否是素數
if(n==2)return true;
if(n<2||n%2==0)return false;//如果是2則是素數，如果<2或者是>2的偶[]數則不是素數
for(register int i=1; i<=times; i++) { //做times次隨機檢驗
ll a=Random(n-2)+1;//得到隨機檢驗算子 a
if(!witness(a,n))return false;//用a檢驗n是否是素數
}
return true;
}
int main() {
ll x;
while(cin>>x) {
if(miller_rabin(x))
cout<<"Yes"<<endl;
else
cout <<"No"<<endl;
}
return 0;
}
刮搜幾道弟弟(我這種人)喜歡做的題：
AT261 與えられた數より小さい素數の個數について
AT807 素數、コンテスト、素數
AT1476 素數判定
P3383 【模板】線性篩素數
P3912 素數個數
綜上所述：我還是喜歡毒瘤，噗嗤