頂函數（\(\lceil {x} \rceil\)）、底函數（\(\lfloor {x} \rfloor\)）：
常稱之為高斯（取整）函數。
定義：
頂函數：\(\geq {x}\)的最小整數。
底函數：\(\leq {x}\)的最大整數。
舉個例子：
\(1.\lceil {1.5} \rceil=2\)
\(2.\lfloor {1.5} \rfloor=1\)
\(3.\lceil {-1.5} \rceil=-1\)
\(4.\lfloor {-1.5} \rfloor =-2\)
帶余除法：
定義:
\(對於任意整數a,b（a\geq b,b\neq 0）,\)\(存在q,r,滿足a=qb+r（0\leq r \leq |b|）,且q，r唯一\)
我們把a叫做被除數，b叫做除數，q叫做商，r叫做余數。
可以證明\(q=\lfloor \left (\frac {a}{b}\right )\rfloor,r=a-b\lfloor \left(\frac {a}{b} \right)\rfloor\)（證明如下）
\(\because這個是很顯然的\)
\(\therefore q=\lfloor \left (\frac {a}{b}\right )\rfloor,r=a-b\lfloor \left(\frac {a}{b} \right)\rfloor\)
整除：
定義：如果\(a\)能把\(b\)除盡，余數為0，那么就說是\(b\)被\(a\)整除，即\(a|b\)。
整除的性質：
- 自反性：對於任意\(n\)，有\(n|n\)。
- 傳遞性：若\(a|b,b|c\)，那么\(a|c\)。
- 反對稱性：若\(a|b,b|a\)，即\(a=b\)。（對稱性：若\(a\)滿足\(b\cdots\)關系，那么\(b\)也滿足\(a\cdots\)關系）
- 若\(b|a,c|b\)，則\(c|a\)。（證明如下）
\(\because b|a,c|b\)
\(\therefore（所以必然存在兩個整數x，y）使得a=xb\)，\(b=yc\)
\(又\therefore a=xyc\)
\(\because a/c=xy\)
\(\therefore c|a\)
- 若\(c|a,c|b\)，則對任意數\(x,y\)，必有\(c |（ax+by）。\)（證明如下）
\(\because c|a,c|b\)
\(\therefore （所以必然存在兩個整數p，q）使得a=pc\)，\(b=qc\)
\(又\therefore c |（pcx+qcy）\)
\(c|c（px+qy）\)
\(\because 兩邊都有c\)
\(\therefore c（px+qy）是c的倍數\)
\(又\therefore c|(ax+by)\)
- 若\(b|a,a\neq 0\)，則有\(|b| \leq |a|\)。（證明如下）
\(\because b|a\)
\(\therefore （所以必然存在一個整數q）使得a=qb\)
\(又\therefore a是b的倍數，|b| \leq |a|\)。
- 若\(b|a,a\neq 0\)，則\(\left( \frac ab \right)|a\)。（證明如下）
\(\because b|a\)
\(\therefore （所以必然存在一個整數q）使得a=qb\)
\(又\therefore \left( \frac {a}{b} \right)=\left( \frac {qb}{b} \right)=q\)
\(\because a是q的倍數\)
\(\therefore q|a\)
\(又\therefore \left(\frac{a}{b}\right)|a\)
- 若\(b|a,c|a,b\bot c\)，則\(bc|a\)。（舉例如下）
\(1.當a=12,b=1,c=6時，1|12,6|12,1\bot12,6|12。\)
\(2.當a=72,b=8,c=9時，8|72,9|72,8\bot9,72|72。（自反性：72|72）\)
- 若\(a|b,b|a\)，則\(|a|=|b|\)。（反對稱性）
- 若\(a|b\)，對任意整數\(c\)，則\(a|bc\)。（證明如下）
\(\because a|b\)
\(\therefore b=xa，b是a的倍數\)
\(又\therefore乘上任意整數c，bc依舊是a的倍數\)
\(又\therefore a|bc\)
- 若\(a|b\)，對於任意整數\(m（m\neq0）\)，則\(ma|mb\)。（證明如下）
\(\because 這是顯然的\)
\(\therefore ma|mb\)
唯一分解定理（算術基本定理）：
\(n=p_1^{r_1}*p_2^{r_2}*\cdots\)
其中\(p_i\)是質數，\(p_1=2,p_2=3 \cdots\)以此類推
結論：
設\(p\)為質數，對於任意整數\(a\)，則有\(p|a\)或者\((p,a)=1\)。（證明如下）
\(\because p為質數\)
$\therefore a要么是p的倍數，要么p\perp a。 \( \)又\therefore p|a或者(p,a)=1$
約數和倍數：
推論：
在算術基本定理中，若\(N\)被唯一分解為\(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_m^{c_m}\),其中\(c_i\)是正整數，\(p_i\)是質數且滿足\(p_1<p_2<\cdots p_m\),則\(N\)的正整數集合可寫作\(：\)
define N 10086
int a[N];
int n;
int cnt=0;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
//clock_t start = clock();
for(int i=1; i<=sqrt(n); ++i) {
if(n%i==0) {
a[++cnt]=i;
if(n/i!=i) a[++cnt]=n/i;
}
}
for(int i=1; i<=cnt; ++i) cout<<a[i]<<" ";
//clock_t ends = clock();
//cout<<"\n Running time: "<<(double)(ends - start)/ CLOCKS_PER_SEC;
return 0;
}
如果更改題意，給出$l,r$，要求求$l-r$之間的每個數的正約數集合。那么再用試除法，時間復雜度就為$O(N\sqrt{N})$，變得有點惡心，特別是在$N$非常大的時候。譬如跑$1-100000$。
消耗的時間如下：
運行代碼如下：
```cpp
#include"bits/stdc++.h"
#include<time.h>
using namespace std;
#define N 10086
int a[N];
int n;
int cnt=0;
int l,r;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>l>>r;
clock_t start = clock();
for(int j=l; j<=r; ++j) {
memset(a,0,sizeof(a));
cnt=0;
// cin>>n;
for(int i=1; i<=sqrt(j); ++i) {
if(j%i==0) {
a[++cnt]=i;
if(j/i!=i) a[++cnt]=j/i;
}
}
for(int i=1; i<=cnt; ++i) cout<<a[i]<<" ";
cout<<"\n";
}
clock_t ends = clock();
cout<<"\n Running time: "<<(double)(ends - start)/ CLOCKS_PER_SEC;
return 0;
}
這個時候就要用到另一種方法。即：
2.倍數法：
對於任意數\(x\)，\(1-N\)中以\(x\)為約數的數就是\(x,2x,3x\cdots \lfloor N/x \rfloor*x\)。時間復雜度為\(O(N \lg N)\)
消耗時間如下：
代碼如下：
#include"bits/stdc++.h"
#include<time.h>
using namespace std;
#define N 100860
vector<int> a[N];
int n;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
clock_t start = clock();
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=1; j<=n/i; ++j)
a[i*j].push_back(i);
for(int i=1; i<=n; ++i) {
for(int j=0; j<a[i].size(); ++j) {
cout<<a[i][j]<<" ";
}
cout<<"\n";
}
clock_t ends = clock();
cout<<"\n Running time: "<<(double)(ends - start)/ CLOCKS_PER_SEC;
return 0;
}
GCD和LCM：
定義：
1.設\(a\)和\(b\)是兩個整數，如果\(d|a\)且\(d|b\)，則稱\(d\)是\(a\)與\(b\)的公因子。
2.設\(a\)和\(b\)是兩個不全為\(0\)的整數，能使\(d|a\)和\(d|b\)成立的最大整數\(d\)，稱它為\(a\)與\(b\)的最大公因子，或最大公約數，即\(gcd(a,b)\)。
3.設\(a\)和\(b\)是兩個不全為\(0\)的整數，能使\(a|d\)和\(b|d\)成立的最小整數\(d\)，稱它為\(a\)與\(b\)的最小公因子，即\(lcm(a,b)\)。
例題：
如果我們把\(A\)分解成了\(2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}\cdots\)，把\(B\)分解成了\(2^{b_1}3^{b_2}5^{b_3}\cdots\)如何快速求\(gcd(A,B)\)。（解如下）
\(\because 假設d=gcd(A,B)\)
\(\therefore d|A,d|B,d最大\)
\(d=2^{p_1}3^{p_2}5^{p_3}\cdots\)
\(\therefore p_1 \leq a_1,p_1 \leq b_1\)
\(p_2 \leq a_2,p_2 \leq b_2\)
\(\cdots\)
\(p_1=min(a_1,b_1),p_2=min(a_2,b_2),\cdots\)
\(又\therefore d=2^{min(a_1,b_1)}3^{min(a_2,b_2)}\cdots\)
2.如何快速求\(lcm(A,B)\)。（解如下）
\(把min換成max即可\)
\(\because 設c=lcm(A,B)\)
\(\therefore c=2^{max(a_1,b_1)}3^{max(a_2,b_2)}\cdots\)
\(gcd(A,B)*lcm(A,B)=A*B=c*d\)
歐幾里得算法：
即輾轉相除法。時間復雜度為\(O(\lg n)\)。
求\(gcd\)（給出\(a,b\)）：
\(引理：若a>b,則gcd(a,b)=gcd(a-b,b)\)
\(證：1.顯然a-b,b的公因數也是a,b的公因數。\)
\(2.a,b的公因數也肯定是a-b,b的公因數。\)
\(3.a,b的公因數集合與a,b的一模一樣，最大的當然也一樣。（更相減損術）\)
\(所以解得gcd(a,b)=gcd(a, a\bmod b)=gcd(a\bmod b,b)\) \(↰\)
\(↑\)
再證明一下上面的式子？\(↑\)
\(設c(a,b)表示a,b的所有公因數的集合，則gcd(a,b)是r(a,b)中最大的。\)
\(先嘗試證明：a>b時,gcd(a,b)=gcd(a,a-b)(過程在上面)\)
\(要證這個，只需證r(a,b)=r(a,a-b)\)
\(假設d是a,b的公因數\)
\((那么必然存在兩個整數p,q)使得a=pd,b=qd→d(p-q)=a-b\)
\(a,b的公因數肯定是a,a-b的公因數,反之成立\)
\(gcd(a,b)=gcd(a,a\bmod b)(一直減一個數，余下的便是a\bmod b的余數)\)
\(舉例:\)
\(a=20,b=3\)
\(即gcd(20,3)→(17,3)→(14,3)→(11,3)→(8,3)→(5,3)→(2,3)\)
Code：
inline int gcd(int a,int b){
if(b==0) return a;
return gcd(b,a%b);
//return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}
一條性質：
記\(f[n]\)為斐波那契數列的第\(n\)項，則有\(gcd(f[a],f[b])=f(gcd[a,b])\)。
計算\(lcm\)：
\(lcm=a/gcd(a,b)*b\)
錯誤做法：
\(lcm=a*b/gcd(a,b)\)（會爆int）
互質：
若\(gcd(a,b)=1\)，那么\(a\perp b\)。
基本定理：
1.對於任意兩個質數\(n,m\)，\(n\perp m\)。
2.對於任意兩個相鄰的整數\(n,m\)，\(n\perp m\)。
3.若\(a=1\)，對於任意一個自然數\(m\)，\(a\perp m\)。
4.一個質數\(m\)，一個合數\(n\)，若\(n\)不是\(m\)的倍數，\(n\perp m\)。
同余：
定義：
若兩個整數\(a,b\)，且它們的差\(a-b\)能夠被某個自然數\(m\)所整除，則稱\(a\)與\(b\)對模\(m\)同余。記作\(a\equiv b(\bmod m)\),若\(m\)的值可以由上下文推出時，簡寫為\(a\equiv b\)。
性質：
1.自反性：\(a\equiv a\)。
2.對稱性：若\(a\equiv b\)，則%b\equiv a%。
3.傳遞性：若\(a\equiv b,b\equiv c\)，則\(a\equiv c\)。
4.同加性：若\(a\equiv b\)，則\(a+c\equiv b+c\)。
5.同乘性：（1）若\(a\equiv b\)，則\(a*c\equiv b*c\)。
（2）若\(a\equiv b,c\equiv d\),則\(a*c\equiv b*d\)。
6.同冪性：若\(a\equiv b\),則\(a^n\equiv b^n\)。
7.同余式相加：若\(a\equiv b,c\equiv d\)，則\(a\pm c\equiv b\pm d\)。
8.同余式相乘：若\(a\equiv b,c\equiv d\)，則\(ac\equiv bd\)。
以上性質都是很顯然的。
容斥原理：
基本思想：
在計算的時候，總是會有遺漏或者是重復計算的部分，為了使重復計算的部分不被重復計算，可以先算出所有可能，然后再把重復計算的部分減去。
舉例：
假設某虎有\(A\)個妹子，cgp有\(B\)個妹子，他們想要知道他們一共有多少個不同的妹子（每個人都有很多，總會有相同妹子）。
先用兩個圓圈表示出每個人所擁有的妹子。
then。
那么紅色的部分代表的是兩個人都有的妹子。
如何計算他們倆一共有多少種不同的妹子？
就需要先把他倆所擁有的妹子加起來，然后再減去紅色的部分都有的妹子，就是所求。
則\(A\cup B=A+B-A\cap B\)。
那么再假設某虎依舊有\(A\)個妹子，cgp依舊也有\(B\)個妹子，突然sjp來了，sjp也有妹子，sjp突然也對這產生興趣，於是某虎有\(A\)個妹子，cgp有\(B\)個妹子，sjp有\(C\)個妹子，他們想要知道他們一共有多少種不同的妹子（每個人都有很多，總會有相同妹子）。
那么我們先用三個圓圈表示出每個人所擁有的妹子。
then。
那么藍色的部分代表的是三個人都有的妹子，綠色的部分代表的是某虎和cgp都有的妹子，橙色的部分代表的是cgp和sjp都有的妹子，紫色部分代表的是某虎和sjp都有的妹子。
那么如何計算他們仨一共有多少種不同的妹子？
就需要先把他們仨所擁有的妹子都加起來，然后再減去綠色的，紫色的，橙色的部分相同的妹子，最后再加上藍色的部分的妹子，就是所求。
則\(A\cup B\cup C=A+B+C-A\cap B-A\cap C-B\cap C+A\cap B\cap C\)。