(i) $f(x)$ 在區間 $[a,b]$ 內的積分轉換為區間 $[0,1]$ 內的積分
$$ \int^b_a f(x) dx. \tag{1}$$
令 $x=a+t(b-a)$, 則
$$ \int^b_a f(x) dx= (b-a)\int^1_0 f\big(a+t(b-a)\big) dt . \tag{2}$$
(ii) $g(x)$ 在區間 $[a,b]$ 內的積分轉換為區間 $[-1,1]$ 內的積分
$$ \int^b_ag(x) dx. \tag{3}$$
令 $x=\frac12\Big[(a+b)+t(b-a)\Big]$, 則
$$ \int^b_a g(x) dx= \frac12(b-a)\int^1_{-1} g\Big(\frac12[(a+b)+t(b-a)] \Big)dt . \tag{4}$$
(iii) 區間$x\in [-L\pi,L\pi]$轉換為$y\in [0,2\pi]$
令 $$ y=\frac{x}{L}+\pi\quad \mbox{或} \quad x=L(y-\pi). $$