把圓錐沿高分成\(k\)份，每份高\(\frac{h}{k}\)。
當這一份很薄時，可以近似為一個圓柱。
第\(n\)份半徑：
\[\frac{nr}{k} \]
第\(n\)份底面積：
\[\frac{\pi n^2 r^2}{k^2} \]
第\(n\)份體積：
\[\frac{\pi hn^2r^2}{k^3} \]
總體積：
\[\sum_{n=1}^{k}\frac{\pi hr^2}{k^3}n^2 \]
因為\(1^2+2^2+3^2+...+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)（平方數列求和公式）
所以總體積
\[\begin{aligned} V &= \frac{\pi hr^2}{k^3}\cdot \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \\ &= \frac{\pi hr^2}{k^2}\cdot \frac{(k+1)(2k+1)}{6} \\ &= \pi hr^2 \frac{(1+\frac{1}{k})(2+\frac{1}{k})}{6} \end{aligned} \]
因為當\(k\)越來越大，總體積越接近於圓錐體積，\(\frac{1}{k}\)越接近於\(0\)
所以
\[V = \pi hr^2\frac{(1+\frac{1}{k})(2+\frac{1}{k})}{6} = \frac{\pi r^2 h}{3} \]
因為\(V_{圓柱}=\pi r^2 h\)
所以\(V_{圓錐}\)是與它等底等高的圓柱體積的\(\frac{1}{3}\)