卷積的定義
向量的計算
給定向量：$a=(a_0,a_1,.,a_{n-1}), \ b = (b_0,b_1,...,b_{n-1})$
向量和：$a+b = (a_0+b_0, a_1+b_1, ... ,a_{n-1}+b_{n-})$
內積：$a\cdot b = a_0b_0 + a_1b_1 +...+a_{n-1}b_{n-1}$
卷積：$a*b = (c_0, c_1,...,c_{2n-2})$，其中$C_k = \sum_{i+j=k,\ i,j< n} a_ib_j, \ k = 0,1,...,2n-2$
即$$ \begin{aligned}
C_0 &= a_0b_0 \\ C_1 &= a_0b_1+a_1b_0 \\C_2 &= a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0 \\ \cdots
\end{aligned} $$
這就是卷積的基本公式，即將下標和相同的數相乘再相加，對於這個公式我們有矩陣形式的解釋。
卷積的含義
構造如下形式的矩陣：
可發現，每條斜線的項之和恰好是卷積中的各個分量。
例如，$C_{n-1}$
計算實例
向量$a=(1,2,4,3)$和向量$b=(4,2,8,0)$進行運算。
例如卷積結果中的28，既可以通過前3項交叉相乘$1\times 8 + 2 \times 2 + 4 \times 4$得到，也可以矩陣形式斜線相加得到。
卷積與多項式乘法的關系
多項式乘法：$C(x) = A(x)B(x)$
$A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2+...+a_{m-1}x^{m-1}$
$B(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + ... + b_{n-1}x^{n-1}$
$C(X) = a_0b_0 + (a_0b_1 + a_1b_0)x+(a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0)x^2 + ...+ a_{m-1}b_{n-1}x^{m+n-2}$，其中$x^k$的系數
$$c_k = \sum _{i+j=k \\ i\in\{0,1,...,m-1\} \\ j\in\{0,1,...,n-1\} } a_ib_j, \ k=0,1,...,m+n-2$$
可見，多項式乘法的系數就是卷積的結果。
卷積應用：信號平滑處理
由於噪聲干擾，對信號需要平滑處理。
如圖，紅色的線是有噪音的情況，黑色的線就是處理以后的結果，它把噪音去掉了，這種處理叫平滑處理。
平滑處理
信號向量：$a = (a_0,a_1,...,a_{m-1})$
$b = (b_{2k}, b_{2k-1}, ..., b_0) = (w_{-k}, ..., w_k)$
於是${a_i}' = \sum _{s=-k} ^k a_{i+s}b_{k-s} = \sum _{s=-k}^k = a_{i+s}w_s$
由於a是升序，b是降序，所以對應項的下標和相等，相乘再相加也即是一個卷積值，用新的值代替原來位置的值。把b向量看作一個2k+1長度窗口在a上移動，少數項有誤差。
實例
矩陣表示如下：
