DFT應用——快速卷積之重疊保留法理解

一、重疊保留法介紹：

仍然采用分段求卷積再組合的方法。

該方法與重疊相加法的區別為：

ⅰ. 對序列x(n)以M為長度重疊分段為x_i(n) ，其后段與前段有N-1個重疊點；

ⅱ. 每段以M為周期計算循環卷積 ；(用FFT)

ⅲ. 將每段得到的循環卷積結果的前N-1個點去掉(這是循環卷積中的混疊部分)，然后將各段剩余部分(對應線性卷積結果)首尾銜接起來，即得到最終結果。

 

二、理解過程

下面結合課本第三章的一道課后題來解釋清楚重疊保留法的過程

21.我們希望利用h（n）長度為N=50的FIR濾波器對一段很長的數據序列進行濾波處理，要求采用重疊保留法通過DFT（即FFT）來實現。所謂重疊保留法，就是對輸入序列進行分段（本題設每段長度為M=100個采樣點），但相鄰兩段必須重疊V個點，然后計算各段與h（n）的L點（本題取L=128）循環卷積，得到輸出序列y(n)，m表示第m段循環卷積計算輸出。最后，從y(n)中選取B個樣值，使每段選取的B個樣值連接得到濾波輸出y(n)。

（1）求V；（2）求B；

分析：

不管是重疊相加法還是重疊保留法，其本質都是用循環卷積去代替線性卷積，但是循環卷積根據情況（L>=N+M-1）可能等於或者不等於線性卷積，我們需要對多余的部分做操作，是保留還是如何。下面看一下這題的示意圖

從上往下依次：

1. 被分段的輸入序列之一
2. 濾波器的單位取樣響應h(n)
3. h(n)以L為周期進行周期延拓后的反轉序列

實際的線性卷積只有①段，因此線性卷積和循環卷積要想相等，必須把②段移出0~99外，即79~99共21個點。因此作循環卷積時，前21個點會發生混疊，即y_m(0)~y_m(20)要舍去。

因此相鄰兩段必須重疊21個點，即下一段x_m(n)要從79開始，再有21個無效的輸出時，①段的左側與上一次的x(n)的n=99重合，因此第一次y_m(n)取樣值也只取到這里，即取第21到99點作為輸出，而不取到128，否則會有重復。

但是實際生活中，往往L是未知的，但是濾波器是固定的，濾波器確定了，h(n)的長度就確定了，所以一般干脆取N-1點作為重疊部分，而不需要考慮L，這里為了計算機計算方便，L會取比分段序列每一段長大的2的冪次，如本題中2⁷>100。這里的分段長度可能實際生活中是不確定了，而我們21點就是據此算出來的，為了形成統一的算法，取重疊部分為N-1，因為②段的長度就是N，所以一定會被移出去。保證了循環卷積和線性卷積結果一致。