逆序對數

題目：在數組中的兩個數字，如果前面一個數字大於后面的數字，則這兩個數字組成一個逆序對。輸入一個數組,求出這個數組中的逆序對的總數P。並將P對1000000007取模的結果輸出。 即輸出P%1000000007

解題思路：

我們以數組{7,5,6,4}為例來分析統計逆序對的過程。每次掃描到一個數字的時候，我們不拿ta和后面的每一個數字作比較，否則時間復雜度就是O(n^2)，因此我們可以考慮先比較兩個相鄰的數字。

(a) 把長度為4的數組分解成兩個長度為2的子數組；

(b) 把長度為2的數組分解成兩個成都為1的子數組；

(c) 把長度為1的子數組 合並、排序並統計逆序對 ；

(d) 把長度為2的子數組合並、排序，並統計逆序對；

在上圖（a）和（b）中，我們先把數組分解成兩個長度為2的子數組，再把這兩個子數組分別拆成兩個長度為1的子數組。接下來一邊合並相鄰的子數組，一邊統計逆序對的數目。在第一對長度為1的子數組{7}、{5}中7大於5，因此（7,5）組成一個逆序對。同樣在第二對長度為1的子數組{6}、{4}中也有逆序對（6,4）。由於我們已經統計了這兩對子數組內部的逆序對，因此需要把這兩對子數組 排序 如上圖（c）所示， 以免在以后的統計過程中再重復統計。

接下來我們統計兩個長度為2的子數組子數組之間的逆序對。合並子數組並統計逆序對的過程如下圖如下圖所示。

我們先用兩個指針分別指向兩個子數組的末尾，並每次比較兩個指針指向的數字。如果第一個子數組中的數字大於第二個數組中的數字，則構成逆序對，並且逆序對的數目等於第二個子數組中剩余數字的個數，如下圖（a）和（c）所示。如果第一個數組的數字小於或等於第二個數組中的數字，則不構成逆序對，如圖b所示。每一次比較的時候，我們都把較大的數字從后面往前復制到一個輔助數組中，確保 輔助數組（記為copy） 中的數字是遞增排序的。在把較大的數字復制到輔助數組之后，把對應的指針向前移動一位，接下來進行下一輪比較。

 

過程：先把數組分割成子數組，先統計出子數組內部的逆序對的數目，然后再統計出兩個相鄰子數組之間的逆序對的數目。在統計逆序對的過程中，還需要對數組進行排序。如果對排序算法很熟悉，我們不難發現這個過程實際上就是歸並排序。參考代碼如下：

class Solution:
    def InversePairs(self, data):
        # write code here
        return self.inverseCount(data[:], 0, len(data)-1, data[:])%1000000007
       
    def inverseCount(self, tmp, start, end, data):
        if end-start <1:
            return 0
        if end - start == 1:
            if data[start]<=data[end]:
                return 0
            else:
                tmp[start], tmp[end] = data[end], data[start]
                return 1
        mid = (start+end)//2
        cnt = self.inverseCount(data, start, mid, tmp) + self.inverseCount(data, mid+1, end, tmp)
        # print(start, mid, end, cnt, data)
        i = start
        j = mid + 1
        ind = start
           
        while(i <= mid and j <= end):
            if data[i] <= data[j]:
                tmp[ind] = data[i]
                i += 1
            else:
                tmp[ind] = data[j]
                cnt += mid - i + 1
                j += 1
            ind += 1
        while(i<=mid):
            tmp[ind] = data[i]
            i += 1
            ind += 1
        while(j<=end):
            tmp[ind] = data[j]
            j += 1
            ind += 1
        return cnt

還有一個更簡潔的方法，時間復雜度也是nlogn

先將原序列排序，然后從排完序的數組中取出最小的，它在原數組中的位置表示有多少比它大的數在它前面，每取出一個在原數組中刪除該元素，保證后面取出的元素在原數組中是最小的，這樣其位置才能表示有多少比它大的數在它前面，即逆序對數。

代碼如下：

class Solution:
    def InversePairs(self, data):
        count = 0
        copy = []
        for i in data:
            copy.append(i)
        copy.sort()
        for i in range(len(copy)):
            count += data.index(copy[i])
            data.remove(copy[i])
        return count%1000000007