算法之逆序對

逆序對問題

​ 假設A[1..n]是一個有n個不同數的數組。若i<j且A[i]>A[j],則對偶(i, j)稱為A的一個逆序對(inversion)。

1. 列出數組{2, 3, 8, 6, 1}的5個逆序對
2. 由集合{1, 2, ..., n}中的元素構成的什么數組具有最多的逆序對？它有多少逆序對?
3. 插入排序的運行時間與輸入數組中的逆序對的數量有什么關系?
4. 給出一個求在n個元素的任何排列中逆序對數量的算法，最壞時間復雜度為: \(\Theta\)(nlgn)

1. 根據定義易得，逆序對為：(2, 1)、(3, 1)、(8, 6)、(8, 1)、(6, 1)

2. 當數組元素恰好為n個元素從大到小排列時，擁有最多的逆序對。此時逆序對為: (n - 1) + (n -2) + (n - 3) + ... + 1 = n(n - 1) / 2

3. 根據插入排序的實現過程，不難得出每次從未排序數組選擇一個值arr[j]插入已排序數組的時候，所需要的移動次數，即為以arr[j]為右側值的逆序對的個數。這個特性也可以設計出一個時間復雜度為: \(\Theta\)(\(n^2\))的算法。當然這種指數級別復雜度的算法我們直接PASS

4. 不難想到\(\Theta\)(nlgn)算法復雜度的歸並排序。其實歸並排序在分治的時候不會改變逆序對的個數。只有在合並的時候，才會因為逆序對的出現導致右側提前被合入原數組。其實修改點主要在兩個方面:

• 聲明一個全局變量用來存儲總的次數
• 在右側提前被合入原數組的時候對總次數進行累加（只需要改歸並排序的merge方法， 歸並排序請參照http://www.cnblogs.com/Kidezyq/p/8379267.html）

具體源代碼如下：

private static int count;

private static void merge(int[] arr, int startIndex, int midIndex, int endIndex) {
	/**
	 * 合並策略: 
	 * 1. 新建兩個數組，分別存取左半部分排好序的數組和右半部分排好序的數組
	 * 2. 分別從左右兩個數組最開始下標開始遍歷，選取較小的依次放入原數組對應位置
	 * 3. 最終如果左右數組中有一個已經遍歷完成，另一個數組所剩的元素直接放入元素組后面部分即可
	 */
	// STEP1
	int[] leftArr = new int[midIndex - startIndex];
	int[] rightArr = new int[endIndex - midIndex];
	System.arraycopy(arr, startIndex, leftArr, 0, leftArr.length);
	System.arraycopy(arr, midIndex, rightArr, 0, rightArr.length);
	
	// STEP2
	int k = startIndex;	// 存儲原數組中的下標
	int i = 0; 			// 存儲左邊數組的下標
	int j = 0;			// 存儲右邊數組的下標
	while (i < leftArr.length && j < rightArr.length) {
		// 將較小的元素復制到元素組對應下標k，並且移動較小元素所在數組下標
		if (leftArr[i] < rightArr[j]) {
			arr[k++] = leftArr[i++];	
		} else {
			// 此時說明 arr[i]到arr[leftArr.length - 1]的值都比arr[j]大，即此時以arr[j]結尾的逆序對個數為: 
			count += leftArr.length - i;
			arr[k++] = rightArr[j++];
		}
	}
	
	// STEP3
	if (i < leftArr.length) {
		System.arraycopy(leftArr, i, arr, k, leftArr.length - i);
	} else if (j <= rightArr.length) {
		System.arraycopy(rightArr, j, arr, k, rightArr.length - j);
	}
}