前言
求通項公式題型中，如果給定條件最終可以轉化為\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)的形式，或者可以轉化為\(\cfrac{a_n}{a_{n-1}}=f(n)\)的形式，則我們就可以考慮使用累乘法求通項公式。
注意事項
①由已知的原始表達式衍生出\(n-1\)個同結構的表達式，其前提條件為\(n\ge 2\)，但是求積時只需要這\(n-1\)個表達式，不用原始表達式參與求和，等號左端約分消項的結果往往是\(\cfrac{a_n}{a_1}\)，右端約分可消項，故可以求積；同時注意對\(n=1\)的條件的驗證。
②等號兩端的約分的方向有可能不一樣，比如左端是從左下到右上約分，右端可能就變化為從右上到左下約分，注意思維的靈活性。
③注意每一個衍生式子的下標與上標的聯系，以防止寫錯。
適用類型
累乘法主要適用於以下情形：
①\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q\)(\(q\)為常數)；
②\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)(\(f(n)\)為變量)；
③能轉化為\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)(\(f(n)\)為變量)；
方法介紹
已知正項數列\(\{a_n\}\)的\(a_1=1\)，\((n+1)a_{n+1}-na_n=0\)，求數列的通項公式。
法1：累乘法，變形為\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{n}{n+1}\)，由此式子可得到
\[\cfrac{a_n}{a_{n-1}}=\cfrac{n-1}{n}， \]
\[\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=\cfrac{n-2}{n-1}， \]
\[\cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}=\cfrac{n-3}{n-2}， \]
\[\cdots，\cdots， \]
\[\cfrac{a_2}{a_1}=\cfrac{1}{2}， \]
以上\(n-1\)個式子相乘得到，當\(n\ge 2\)時，
\[\cfrac{a_n}{a_{n-1}}\cdot \cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot \cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}\cdot \cdots \cfrac{a_2}{a_1}=\cfrac{n-1}{n} \cdot \cfrac{n-2}{n-1} \cdot\cfrac{n-3}{n-2}\cdot \cdots\cfrac{1}{2} \]
\[\cfrac{a_n}{a\mkern-8.5mu/_{n-1}}\cdot \cfrac{a\mkern-8.5mu/_{n-1}}{a\mkern-8.5mu/_{n-2}}\cdot \cfrac{a\mkern-8.5mu/_{n-2}}{a\mkern-8.5mu/_{n-3}}\cdot \cdots \cfrac{a\mkern-8.5mu/_2}{a_1}=\cfrac{n\mkern-8.5mu/-1\mkern-8.5mu/}{n} \cdot \cfrac{n\mkern-8.5mu/-2\mkern-8.5mu/}{n\mkern-8.5mu/-1\mkern-8.5mu/} \cdot\cfrac{n\mkern-8.5mu/-3\mkern-8.5mu/}{n\mkern-8.5mu/-2\mkern-8.5mu/}\cdot \cdots\cfrac{1}{2\mkern-8.5mu/} \]
即\(\cfrac{a_n}{a_1}=\cfrac{1}{n}\)，故\(a_n=\cfrac{1}{n}(n\ge 2)\)，
當\(n=1\)時，\(a_1=1\)滿足上式，故所求通項公式\(a_n=\cfrac{1}{n}(n\in N^*)\)。
解后反思：
①用累乘法也可以求等比數列的通項公式，有點大材小用之嫌；
②累乘法尤其適用於比值不是相等即變化的情形，比如\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)的情形。
③求解形如\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)時，表達式\(f(n)\)必須有可乘性。
比如，\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{n}{n+1}=f(n)\)，此時右端可以用累乘相消簡化結果。
但是像這樣的情形，\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=n^2+2n=f(n)\)，此時右端就不具有可乘性[用現有的方法不能求解其乘積的結果]，不能使用這個方法。
④你必須意識到不是所有形如\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)的形式都可以使用累乘法求通項公式。
法2：如果你對數列\(a_{n+1}-a_n=d\)中的\(a_n\)類的內涵理解的比較深刻，那么本題目還可以這樣求解，
由已知容易知道數列\(\{na_n\}\)是首項為1，公差為0的等差數列，
故\(na_n=1+(n-1)\cdot 0\)，即\(a_n=\cfrac{1}{n}(n\in N^*)\)。
典例剖析
在數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，若\(3S_{n}=(n+2)a_n\)，求\(a_n\)=_____________。
提示：本題目屬於\(S_n=f(n，a_n)\)且直接求解\(a_n\)的形式；
當\(n\geqslant 2\)時，\(3S_{n-1}=(n+1)a_{n-1}\)，
兩式作差得到，\(3(S_n-S_{n-1})=3a_n=(n+2)a_n-(n+1)a_{n-1}(n\geqslant 2)\)，
整理為\((n-1)a_n=(n+1)a_{n-1}(n\geqslant 2)\)，即
\[\cfrac{a_n}{a_{n-1}}=\cfrac{n+1}{n-1} \]
由上式衍生出以下式子：
\[\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=\cfrac{n}{n-2} \]
\[\cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}=\cfrac{n-1}{n-3} \]
\[\cdots，\cdots，\cdots \]
\[\cfrac{a_{3}}{a_{2}}=\cfrac{4}{2} \]
\[\cfrac{a_{2}}{a_{1}}=\cfrac{3}{1} \]
以上\(n-1\)個式子累乘得到，當\(n\geqslant 2\)時，
\[\cfrac{a_n}{a_{n-1}}\times\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\times\cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}\times \cdots\times \cfrac{a_{3}}{a_{2}}\times \cfrac{a_{2}}{a_{1}}=\cfrac{n+1}{n-1}\times \cfrac{n}{n-2}\times \cfrac{n-1}{n-3}\times \cdots\times\cfrac{4}{2}\times\cfrac{3}{1} \]
約分后整理為
\[\cfrac{a_n}{a_1}=\cfrac{(n+1)n}{2\times 1}(n\geqslant 2) \]
即\(a_n=\cfrac{(n+1)n}{2}(n\geqslant 2)\)，
當\(n=1\)時，\(a_1=1=\cfrac{(1+1)\times1}{2}\)，故滿足上式，
即所求通項公式為\(a_n=\cfrac{n(n+1)}{2}(n\in N^*)\).
對應練習
在數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，若\(a_{n+1}=\cfrac{n}{n+2}a_n\)，求\(a_n\)=_____________。
提示：由\(a_{n+1}=\cfrac{n}{n+2}a_n\)，得到\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{n}{n+2}\)
則當\(n\geqslant 2\)時，
\[\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}=\cfrac{n-1}{n+1} \]
\[\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=\cfrac{n-2}{n} \]
\[\cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}=\cfrac{n-3}{n-1} \]
\[\cdots，\cdots，\cdots \]
\[\cfrac{a_{3}}{a_{2}}=\cfrac{2}{4} \]
\[\cfrac{a_{2}}{a_{1}}=\cfrac{1}{3} \]
以上\(n-1\)個式子累乘得到，當\(n\geqslant 2\)時，
\[\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}\times\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\times\cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}\times \cdots\times \cfrac{a_{3}}{a_{2}}\times \cfrac{a_{2}}{a_{1}}=\cfrac{n-1}{n+1}\times \cfrac{n-2}{n}\times\cfrac{n-3}{n-1} \times \cdots \times \cfrac{2}{4}\times \cfrac{1}{3} \]
約分整理得到，當\(n\geqslant 2\)時，\(\cfrac{a_n}{a_1}=\cfrac{2\times 1}{(n+1)n}\)
即\(a_n=\cfrac{2}{n(n+1)}(n\geqslant 2)\)，
再驗證\(n=1\)時，\(a_1=1=\cfrac{2}{1\times (1+1)}\)，滿足上式，
故所求通項公式為\(a_n=\cfrac{2}{n(n+1)}(n\in N^*)\)，
在數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，若\(3a_{n+1}=(1+\cfrac{1}{n})^2\cdot a_n\)，求\(a_n\)=_____________。
分析：由\(3a_{n+1}=(1+\cfrac{1}{n})^2\cdot a_n\)，得到\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{(n+1)^2}{3\cdot n^2}=\cfrac{1}{3}\times \cfrac{(n+1)^2}{n^2}\)
則當\(n\geqslant 2\)時，
\[\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}=\cfrac{1}{3}\times \cfrac{n^2}{(n-1)^2} \]
\[\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=\cfrac{1}{3}\times \cfrac{(n-1)^2}{(n-2)^2} \]
\[\cdots，\cdots，\cdots \]
\[\cfrac{a_{3}}{a_{2}}=\cfrac{1}{3}\times \cfrac{3^2}{2^2} \]
\[\cfrac{a_{2}}{a_{1}}=\cfrac{1}{3}\times \cfrac{2^2}{1^2} \]
以上\(n-1\)個式子累乘得到，當\(n\geqslant 2\)時，
\[\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}\times\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \times\cdots \times\cfrac{a_{3}}{a_{2}} \times\cfrac{a_{2}}{a_{1}}=(\cfrac{1}{3})^{n-1}\times \cfrac{n^2}{(n-1)^2}\times \cfrac{(n-1)^2}{(n-2)^2}\times \cdots \times\cfrac{3^2}{2^2} \times\cfrac{2^2}{1^2} \]
則\(\cfrac{a_n}{a_1}=\cfrac{n^2}{3^{n-1}}(n\geqslant 2)\)，即\(a_n=\cfrac{n^2}{3^{n-1}}(n\geqslant 2)\)
再驗證\(n=1\)時，\(a_1=1\)，\(\cfrac{1^2}{3^{1-1}}=1\)，滿足上式，
故所求通項公式為\(a_n=\cfrac{n^2}{3^{n-1}}(n\in N^*)\).
