前言
求通项公式题型中，如果给定条件最终可以转化为\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)的形式，或者可以转化为\(\cfrac{a_n}{a_{n-1}}=f(n)\)的形式，则我们就可以考虑使用累乘法求通项公式。
注意事项
①由已知的原始表达式衍生出\(n-1\)个同结构的表达式，其前提条件为\(n\ge 2\)，但是求积时只需要这\(n-1\)个表达式，不用原始表达式参与求和，等号左端约分消项的结果往往是\(\cfrac{a_n}{a_1}\)，右端约分可消项，故可以求积；同时注意对\(n=1\)的条件的验证。
②等号两端的约分的方向有可能不一样，比如左端是从左下到右上约分，右端可能就变化为从右上到左下约分，注意思维的灵活性。
③注意每一个衍生式子的下标与上标的联系，以防止写错。
适用类型
累乘法主要适用于以下情形：
①\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q\)(\(q\)为常数)；
②\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)(\(f(n)\)为变量)；
③能转化为\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)(\(f(n)\)为变量)；
方法介绍
已知正项数列\(\{a_n\}\)的\(a_1=1\)，\((n+1)a_{n+1}-na_n=0\)，求数列的通项公式。
法1：累乘法，变形为\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{n}{n+1}\)，由此式子可得到
\[\cfrac{a_n}{a_{n-1}}=\cfrac{n-1}{n}， \]
\[\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=\cfrac{n-2}{n-1}， \]
\[\cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}=\cfrac{n-3}{n-2}， \]
\[\cdots，\cdots， \]
\[\cfrac{a_2}{a_1}=\cfrac{1}{2}， \]
以上\(n-1\)个式子相乘得到，当\(n\ge 2\)时，
\[\cfrac{a_n}{a_{n-1}}\cdot \cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot \cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}\cdot \cdots \cfrac{a_2}{a_1}=\cfrac{n-1}{n} \cdot \cfrac{n-2}{n-1} \cdot\cfrac{n-3}{n-2}\cdot \cdots\cfrac{1}{2} \]
\[\cfrac{a_n}{a\mkern-8.5mu/_{n-1}}\cdot \cfrac{a\mkern-8.5mu/_{n-1}}{a\mkern-8.5mu/_{n-2}}\cdot \cfrac{a\mkern-8.5mu/_{n-2}}{a\mkern-8.5mu/_{n-3}}\cdot \cdots \cfrac{a\mkern-8.5mu/_2}{a_1}=\cfrac{n\mkern-8.5mu/-1\mkern-8.5mu/}{n} \cdot \cfrac{n\mkern-8.5mu/-2\mkern-8.5mu/}{n\mkern-8.5mu/-1\mkern-8.5mu/} \cdot\cfrac{n\mkern-8.5mu/-3\mkern-8.5mu/}{n\mkern-8.5mu/-2\mkern-8.5mu/}\cdot \cdots\cfrac{1}{2\mkern-8.5mu/} \]
即\(\cfrac{a_n}{a_1}=\cfrac{1}{n}\)，故\(a_n=\cfrac{1}{n}(n\ge 2)\)，
当\(n=1\)时，\(a_1=1\)满足上式，故所求通项公式\(a_n=\cfrac{1}{n}(n\in N^*)\)。
解后反思：
①用累乘法也可以求等比数列的通项公式，有点大材小用之嫌；
②累乘法尤其适用于比值不是相等即变化的情形，比如\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)的情形。
③求解形如\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)时，表达式\(f(n)\)必须有可乘性。
比如，\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{n}{n+1}=f(n)\)，此时右端可以用累乘相消简化结果。
但是像这样的情形，\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=n^2+2n=f(n)\)，此时右端就不具有可乘性[用现有的方法不能求解其乘积的结果]，不能使用这个方法。
④你必须意识到不是所有形如\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)的形式都可以使用累乘法求通项公式。
法2：如果你对数列\(a_{n+1}-a_n=d\)中的\(a_n\)类的内涵理解的比较深刻，那么本题目还可以这样求解，
由已知容易知道数列\(\{na_n\}\)是首项为1，公差为0的等差数列，
故\(na_n=1+(n-1)\cdot 0\)，即\(a_n=\cfrac{1}{n}(n\in N^*)\)。
典例剖析
在数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，若\(3S_{n}=(n+2)a_n\)，求\(a_n\)=_____________。
提示：本题目属于\(S_n=f(n，a_n)\)且直接求解\(a_n\)的形式；
当\(n\geqslant 2\)时，\(3S_{n-1}=(n+1)a_{n-1}\)，
两式作差得到，\(3(S_n-S_{n-1})=3a_n=(n+2)a_n-(n+1)a_{n-1}(n\geqslant 2)\)，
整理为\((n-1)a_n=(n+1)a_{n-1}(n\geqslant 2)\)，即
\[\cfrac{a_n}{a_{n-1}}=\cfrac{n+1}{n-1} \]
由上式衍生出以下式子：
\[\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=\cfrac{n}{n-2} \]
\[\cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}=\cfrac{n-1}{n-3} \]
\[\cdots，\cdots，\cdots \]
\[\cfrac{a_{3}}{a_{2}}=\cfrac{4}{2} \]
\[\cfrac{a_{2}}{a_{1}}=\cfrac{3}{1} \]
以上\(n-1\)个式子累乘得到，当\(n\geqslant 2\)时，
\[\cfrac{a_n}{a_{n-1}}\times\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\times\cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}\times \cdots\times \cfrac{a_{3}}{a_{2}}\times \cfrac{a_{2}}{a_{1}}=\cfrac{n+1}{n-1}\times \cfrac{n}{n-2}\times \cfrac{n-1}{n-3}\times \cdots\times\cfrac{4}{2}\times\cfrac{3}{1} \]
约分后整理为
\[\cfrac{a_n}{a_1}=\cfrac{(n+1)n}{2\times 1}(n\geqslant 2) \]
即\(a_n=\cfrac{(n+1)n}{2}(n\geqslant 2)\)，
当\(n=1\)时，\(a_1=1=\cfrac{(1+1)\times1}{2}\)，故满足上式，
即所求通项公式为\(a_n=\cfrac{n(n+1)}{2}(n\in N^*)\).
对应练习
在数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，若\(a_{n+1}=\cfrac{n}{n+2}a_n\)，求\(a_n\)=_____________。
提示：由\(a_{n+1}=\cfrac{n}{n+2}a_n\)，得到\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{n}{n+2}\)
则当\(n\geqslant 2\)时，
\[\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}=\cfrac{n-1}{n+1} \]
\[\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=\cfrac{n-2}{n} \]
\[\cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}=\cfrac{n-3}{n-1} \]
\[\cdots，\cdots，\cdots \]
\[\cfrac{a_{3}}{a_{2}}=\cfrac{2}{4} \]
\[\cfrac{a_{2}}{a_{1}}=\cfrac{1}{3} \]
以上\(n-1\)个式子累乘得到，当\(n\geqslant 2\)时，
\[\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}\times\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\times\cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}\times \cdots\times \cfrac{a_{3}}{a_{2}}\times \cfrac{a_{2}}{a_{1}}=\cfrac{n-1}{n+1}\times \cfrac{n-2}{n}\times\cfrac{n-3}{n-1} \times \cdots \times \cfrac{2}{4}\times \cfrac{1}{3} \]
约分整理得到，当\(n\geqslant 2\)时，\(\cfrac{a_n}{a_1}=\cfrac{2\times 1}{(n+1)n}\)
即\(a_n=\cfrac{2}{n(n+1)}(n\geqslant 2)\)，
再验证\(n=1\)时，\(a_1=1=\cfrac{2}{1\times (1+1)}\)，满足上式，
故所求通项公式为\(a_n=\cfrac{2}{n(n+1)}(n\in N^*)\)，
在数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，若\(3a_{n+1}=(1+\cfrac{1}{n})^2\cdot a_n\)，求\(a_n\)=_____________。
分析：由\(3a_{n+1}=(1+\cfrac{1}{n})^2\cdot a_n\)，得到\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{(n+1)^2}{3\cdot n^2}=\cfrac{1}{3}\times \cfrac{(n+1)^2}{n^2}\)
则当\(n\geqslant 2\)时，
\[\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}=\cfrac{1}{3}\times \cfrac{n^2}{(n-1)^2} \]
\[\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=\cfrac{1}{3}\times \cfrac{(n-1)^2}{(n-2)^2} \]
\[\cdots，\cdots，\cdots \]
\[\cfrac{a_{3}}{a_{2}}=\cfrac{1}{3}\times \cfrac{3^2}{2^2} \]
\[\cfrac{a_{2}}{a_{1}}=\cfrac{1}{3}\times \cfrac{2^2}{1^2} \]
以上\(n-1\)个式子累乘得到，当\(n\geqslant 2\)时，
\[\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}\times\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \times\cdots \times\cfrac{a_{3}}{a_{2}} \times\cfrac{a_{2}}{a_{1}}=(\cfrac{1}{3})^{n-1}\times \cfrac{n^2}{(n-1)^2}\times \cfrac{(n-1)^2}{(n-2)^2}\times \cdots \times\cfrac{3^2}{2^2} \times\cfrac{2^2}{1^2} \]
则\(\cfrac{a_n}{a_1}=\cfrac{n^2}{3^{n-1}}(n\geqslant 2)\)，即\(a_n=\cfrac{n^2}{3^{n-1}}(n\geqslant 2)\)
再验证\(n=1\)时，\(a_1=1\)，\(\cfrac{1^2}{3^{1-1}}=1\)，满足上式，
故所求通项公式为\(a_n=\cfrac{n^2}{3^{n-1}}(n\in N^*)\).
