分位數Quantiles

 什么是分位數？

 

顯然，分位數是用來定位的，表示某個樣本在整個樣本空間中的位置信息。

通過CDF(累積分布函數)可以很好地理解分位數的概念。CDF是一個單調遞增的函數，F(q) = F(x<=q) 。CDF曲線中橫軸是隨機變量的取值，豎軸是小於某個取值的概率。

由於CDF單調遞增，因此一定存在一個逆函數F^-1。F^-1以小於某個取值的概率為輸入，以對應的隨機變量的取值為輸出。

如果已知P(X<=x_alpha) = alpha  = F(X_alpha) ，則通過CDF的逆F^-1可直接求出對應的X_alpha的取值X_alpha=F^-1(alpha)，X_alpha即為F的alpha分位點。

 

以下是一個均值=10，標准差=0.5的正態分布概率密度曲線的例子，x=9.020的垂線與該分布的概率密度曲線和X軸所圍成的左側區域面積=0.025，

該面積表示在隨機變量X的總體分布中，有2.5%的值小於9.020，也就是說在總體分布中，隨機變量X的取值小於9.020的概率為2.5%。

同樣，x=10.98的垂線與該分布的概率密度曲線和X軸所圍成的右側區域面積=0.025，該面積表示在隨機變量X的總體分布中，有2.5%的值大於10.98，

也就是說在總體分布中，隨機變量X的取值大於10.98的概率為2.5%（也即是隨機變量X的取值小於10.98的概率為97.5%）。

在這個分布中，x=9.020的值被稱為X的2.5%分位數（即：X_2.5%=9.020），x=10.98的值被稱為X的97.5%分位數（X_97.5%=10.98）。

隨機變量X有95%（即：97.5% - 2.5%=95%）的取值落在9.020至10.98之間。每個分位數都是隨機變量所有可能取值中的某個值。

按照定義，若某個值Xp被稱為隨機變量X的p分位數，則隨機變量X的取值小於Xp的概率為p。

                        
以下是該正態分布對應的累積概率分布曲線，該曲線的縱軸表示的是累積概率，比如：x=9.020對應的累積概率為2.5%（即：隨機變量X的取值小於x=9.020的概率為2.5%）,

x=10對應的累積概率為50%（即：隨機變量X的取值小於x=10的概率為50%）, x=10.98對應的累積概率為97.5%（即：隨機變量X的取值小於x=10.98的概率為97.5%）。

分位數的概念很重要，我們在研究過程能力時，通常將被研究過程的特性的99.865%分位數與0.135%分位數的差值

（即：被研究過程的特性其中間99.73%的區間范圍）定義為過程變異（Process Variation）的寬度。建立SPC控制圖，

如：均值極差（Xbar-R）控制圖時，也是分別以樣本均值和樣本極差的0.135%分位數和99.865%分位數作為下控制限（LCL）和上控制限（UCL）。

對於服從正態分布的過程的特性X，其0.135%分位數X_0.135%=μ-3σ，99.865%分位數X_99.865%=μ+ 3σ，因此，過程變異的寬度=6σ。

對於服從任意分布的隨機變量，過程變異的寬度= X_99.865% - X_0.135%。以下是任意分布時的概率密度分布曲線的例子。

隨機變量取值X=x_i時的概率P(X=x_i）=△xf(x)，因為△x趨於0，因此在連續分布中，隨機變量取值X=x_i的概率P(X=x_i）趨於0。