分位數

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本文內容

• 分位數
• 中位數
• 四分位數
• 百分位數
• 參考資料
• 演示

 

分位數

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分位數（Quantile），也稱分位點，是指將一個隨機變量的概率分布范圍分為幾個等份的數值點，分析其數據變量的趨勢。常用的有中位數、四分位數、百分位數等。

中位數

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中位數（Medians）是一個統計學的專有名詞，代表一個樣本、種群或概率分布中的一個數值，可以將數值集合划分為相等的兩部分，即，若設連續隨機變量 X 的分布函數為 F(X)，那么滿足條件 F(X)=1/2 ，稱為 X 或分布 F 的中位數。中位數是用來衡量集中趨勢的方法。對於一個有限的、有序的數集，位於中間位置的那個數值就是中位數，用 Me 表示。

中位數可以擴展到四分位數，即中位數再取中位數，變成四分位數。

四分位數

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若設連續隨機變量 X 的分布函數為 F(X)，那么滿足條件 F(X)=1/4 ，稱為 X 或分布 F  的四分位數。四分位數通常用箱形圖（Box Plots）表示。箱形圖能顯示出一組數據的最大值（Maximum）、最小值（Minimum）、中位數（Q₂）、下四分位數（Q₁）及上四分位數（Q₃）。

四分位描述為，將 n 個數從小到大排列 x_n=(x₁,x₂,x₃,…,x_n)，那么 Q_1，Q_2，Q₃ 的位置 L：

當計算的位置為小數時，即 n 為奇數，其四分位數將在后面示例中介紹。

箱形圖

箱形圖是於 1977年由美國著名統計學家約翰·圖基（John Tukey）發明，如下所示：

圖 1 箱形圖

這組數據顯示出：

• 最小值（Minimum）為 5
• 下四分位數（Q₁）為 7
• 中位數（Q₂，Median）為 8.5
• 上四分位數（Q₃）為 9
• 最大值（Maximum）為 10
• 平均值為 8
• 四分位間距（Inter-quartile range，IQR）為 Q₃-Q₁=2，即 ΔQ，在區間 Q₁-1.5ΔQ，Q₃+1.5ΔQ 之外的值被視為應忽略（farout）。
  • farout：在圖上不予顯示，僅標注一個符號。
  • 最大值區間： Q₃+1.5ΔQ
  • 最小值區間： Q₁-1.5ΔQ
• 最大值與最小值產生於這個區間。區間外的值被視為 outlier 顯示在圖上。
  • mild outlier 為 3.5
  • extreme outlier 為 0.5

圖 2 正態分布 N(0,1σ²) 的箱形圖和概率密度函數

不論 Q₁，Q₂，Q₃ 的變異量數數值為何，均視為一個分界點，以此將總數分成四個相等部分，可以通過 Q₁ 和 Q₃ 比較，分析其數據變量的趨勢。

示例 1

某車間某月份的工人生產某產品的數量分別為 x=(13, 13.5, 13.8, 13.9, 14, 14.6, 14.8, 15, 15.2, 15.4, 15.7) 公斤，則三個四分位數的位置分別為：

即數組第3、第6、第9個工人的某種產品產量分別為下四分位數、中位數和上四分位數為：

Q₁ = 13.8 公斤、Q₂ = 14.6 公斤、Q₃ = 15.2 公斤

示例 2

某車間某月份的工人生產某產品的數量分別為 x=(13, 13.5, 13.8, 13.9, 14, 14.6, 14.8, 15, 15.2, 15.4) 公斤，則三個四分位數的位置分別為：

即數組中的第 2.75 項、第 5.5 項、第 8.25 項分別為下四分位數、中位數和上四分位數。即：

Q1=0.25×第2項+0.75×第3項=0.25×13.5+0.75×13.8=13.73 (公斤)

Q2=0.5×第5項+0.5×第6項=0.5×14+0.5×14.6=14.3 (公斤)

Q3=0.75×第8項+0.25×第9項=0.75×15+0.25×15.2=15.05 (公斤)

若（n+1）為 4 的倍數，則確定四分數很簡單；否則，若不是 4 的倍數，即小數，則四分位數是該小數的最大整數和最小整數位置上的值的平均數。

另外，權重的大小取決於兩個整數位置距離的遠近，距離越近，權數越大，距離越遠，權數越小，權數之和等於 1。

示例 3

若有有序數組 x=(17, 19, 22, 24, 25, 28, 34)，則四分位數：

Q₁ 的位置= （n + 1) / 4 = （7 + 1) / 4 = 2

Q₃ 的位置= 3*（n + 1) / 4 = 3*（7 + 1) / 4 = 6

則 Q₁ 與 Q₃ 分別為 19 和 28；IQR 四分位差為 Q₃ − Q₁=28-19=9

說明 50% 的數據集中在 19～28 之間，最大差異為 9。

百分位數

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百分位數又稱百分位分數（percentile），是一種相對地位量數，它是次數分布（Frequency Distribution，頻數分布）中的一個點。把一個次數分布排序后，分為 100 個單位，百分位數就是次數分布中相對於某個特定百分點的原始分數，它表明在次數分布中特定個案百分比低於該分數。百分位數用P加下標 m（特定百分點）表示。譬如，若P₃₀等於60，則其表明在該次數分布中有 30％ 的個案低於 60 分。

百分位數運用在教育統計學中，如表現測驗成績時，又稱 PR 值（Percentile ranks），用於描述一組數據某一百分位置的水平，多個百分位數結合應用，可全面描述一組觀察值的分布特征；百分位數還可用於確定非正態分布資料的醫學參考值范圍。但應用百分位數時，樣本含量要足夠大，否則不宜取太靠近兩端的百分位數。

計算公式為：

其中，

• P_m：第 m 百分位數；
• L：P_m所在組的組實下限；
• U：P_m所在組的組實上限；
• f：P_m所在組的次數；
• F_b：小於 L 的累積次數；
• F_a：大於 U 的累積次數。

示例 1

某省某年公務員考試考生分數分布如下表所示，預定取考分居前 15％ 的考生進行面試，請划定面試分數線。

分數分組	次數	向上累積次數	向下累積次數	向上累積相對次數
95～99	7	1640	7	100％
90～94	16	1633	23	99.57％
85～89	53	1617	76	98.60％
80～84	78	1564	154	95.37％
75～79	90	1486	244	90.61％
70～74	119	l396	363	85.12％
65～69	159	1277	522	77.87％
60～64	156	1118	678	68.17％
55～59	140	962	818	58.66％
50～54	145	822	963	50.12％
45～49	140	677	1103	41.28％
40～44	135	537	1238	32.74％
35～39	130	402	1368	24.51％
30～34	126	272	1494	16.59％
25～29	78	146	1572	8.90％
20～24	25	68	1597	4.15％
15～19	20	43	1617	2.62％
10～14	16	23	1633	1.40％
5～9	7	7	1640	0.43％

由於預定取考分居前 15％ 的考生進行面試，即有85％的考生分數低於划定的分數線，由此可知，分數線在 70～74 這一組中。

參考資料

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• D3 box plot 演示
• 中位數
• Wiki 四分位數
• MBALib 四分位
• Wiki 百分位數
• baidu 四分位數
• Wiki 箱形圖
• Wiki 百分位數
• Wiki 統計學
• MBALib 次數分布

演示

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