理解隔板法
隔板法就是在n個元素間的（n-1）個空插入k-1個板子，把n個元素分成k組的方法。
應用隔板法必須滿足的3個條件：
- n個元素是相同的
- k個組是互異的
- 每組至少分得一個元素
公式
將n個相同的求放到m個不同的盒子里的個數為：$C_{n-1}^{m-1}$
例如，把10個相同的球放入3個不同的箱子，每個箱子至少一個，問有幾種情況？ $C_{n-1}^{m-1} = C_9^2$
隔板法應用
普通隔板法
例1.求方程x+y+z=10的正整數解的個數。
分析：將10個求排成一排，球與球之間形成9個空隙，將兩個隔板插入這些空隙中（每空至多插一塊隔板），規定由隔板分成的左、中、右三部分的球數分別為x、y、z的值，則隔板法與解的個數之間建立了一一對應關系，故解的個數為C(n-1, m-1) = C(9, 2) = 36.
添元素隔板法
例2. 求方程 x+y+z=10的非負整數解的個數。
分析：注意到x、y、z可以為零，故例1解法中的限定“每空至多插一塊隔板”就不成立了，怎么辦呢？只要添加三個球，給x、y、z各添加一個球，這樣原問題就轉化為求 x+y+z=13的正整數解的個數了，則問題就等價於把13個相同小球放入3個不同箱子，每個箱子至少一個，有幾種情況？易得解的個數為C（n+m-1,m-1）=C（12，2）=66（個）。
例3.把10個相同的小球放到3個不同的箱子，第一個箱子至少1個，第二個箱子至少3個，第3個箱子可以為空，有幾種情況？
我們可以在第二個箱子先放入10個小球中的2個，小球剩8個放3個箱子，然后在第三個箱子放入8個小球之外的1個小球（即補充了一個球），則問題轉化為把9個相同小球放3不同箱子，每箱至少1個，幾種方法？C(8,2）=28
（減元素隔板法）
例4. 將20個相同的小球放入編號分別為1，2，3，4的四個盒子中，要求每個盒子中的球數不少於它的編號數，求放法總數。
分析：先在編號1，2，3，4的四個盒子內分別放0，1，2，3個球，剩下14個球，再把剩下的球分成4組，每組至少1個，由例1知方法有C（13，3）=286（種）。
添板插板法
例5.有一類自然數序列，從第三個數字開始，每個數字都恰好是它前面兩個數字之和，直至不能再寫為止，如1 4 5 9，5 8 13等等，這類數共有幾個？
分析：因為前2位唯一確定了整個序列，只要求出前兩位的所有情況即可，設前兩位為a和b
顯然a + b <= 9，且a不為0.
設1_1_1_1_1_1_1_1_1 1代表9個1，_代表8個空位.
我們要把9分成兩組，但b可以為0，我們先給b一個1，然后就相當於把10個球放入(a, b)兩不同的盒子里，每個盒子至少放一個，C(9, 1)，但這是錯誤的，為什么？因為1不一定要全部放入。其實解決這個問題可以這么想，我們引入一個盒子c放a、b取完后剩下的1，所以保證c中球數大於0，需要再增加一個球，題目等價於，11個球放入3個不同的箱子，每個箱子至少放一個，C(10, 2).
例5另一種解法：
顯然a + b <= 9，且a不為0.
設1_1_1_1_1_1_1_1_1_ _ 1代表9個1，_代表8個空位.
之前我們可以在9個空位中插入2個板，分成3組，第一組取到a個1，第二組取到b個1，但此時第二組始終不能取空。若在末尾添加兩個空，第二組就能取到空，所以共有C(10, 2).
選板法
例6.有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完為止，求有多少種不同吃法？
分析：o_o_o_o_o_o_o_o_o_o o代表10個糖，_ 代表9個空，所以10塊糖，9個空，插入9塊隔板，每個板都可以選擇放或不放，相鄰兩板間的糖一天吃掉，這樣共有
2^9=512啦.
分類插板法
例7.小梅有15塊糖，如果每天至少吃3塊，吃完為止，那么共有多少種不同的吃法？
分析：
此問題不能用插板法的原因在於沒有規定一定要吃幾天，因此我們需要對吃的天數進行分類討論
最多吃5天，最少吃1天
1： 吃1天或是5天，各一種吃法 一共2種情況
2：吃2天，每天預先吃2塊，即問11塊糖，每天至少吃1塊，吃2天，幾種情況？ C（10， 1）=10
3：吃3天，每天預先吃2塊，即問9塊糖，每天至少1塊，吃3天? C（8 ，2）=28
4：吃4天，每天預先吃2塊，即問7塊糖，每天至少1塊，吃4天？c（6 ，3）=20
所以一共是 2+10+28+20=60 種 .
逐步插板法
我覺得叫逐步插空法更好，為什么？看例題
例8.在一張節目單中原有6個節目，若保持這些節目相對次序不變，再添加3個節目，共有幾種情況？
分析：可以用一個節目去插7個空位，再用第二個節目去插8個空位，用最后個節目去插9個空位，所以一共是C(7, 1)×C(8, 1)×C(9, 1)=504種.
OJ例題
1.[ZOJ3557]How Many Sets II
題意：從n個小球中取m個小球，不能取相鄰的小球的方案數.
這道題是插板法的經典應用
首先我們拿出m個小球，還剩下n-m個小球。這n-m個小球一共有n-m+1個空（左右兩邊也可以），把這m個小球插入到這n-m+1個空里就是答案，即$C_{n-m+1}^m$
這m個小球的編號取決於它插入的位置，所以和選哪個小球沒關系.
2.hdu 3037 Saving Beans
題意：有n個不同的盒子，在每個盒子中放一些球（可以不放），使得總球數≤m,求方案數（mod p）.
方法一：
設最后放了k個球，根據"隔板法"由方案數C(k+n-1,n-1),:<br>
ans=C(n-1,n-1)+C(n,n-1)+C(n+1,n-1)+……+C(n+m-2,n-1)+C(n+m-1,n-1)<br>
=C(n+m,n);(mod p)
方法二：
這個題和原來不一樣的地方：總球數≤m，一般我們就是總球數就是m，所以我們可以增加一個盒子，現在n+1個盒子，現在假設就要放m個球，n來來放k個球，剩下的m-k就放在那個我們增加的盒子里，這樣n個盒子的組合球數就是我們要求的，所以題目等價於m個球放入n+1個盒子中，盒子有里球數可以為0，添元素插板法，每一個盒子都增加一個球，即m+n+1個球放入n+1個盒子，c（m+n，n）為答案。
參考鏈接：http://www.360doc.com/content/18/1010/18/5315_793617654.shtml