參考博文：「隔板法」詳解
理解隔板法
隔板法就是在 \(n\) 個元素間的 \(n-1\) 個空插入 \(k-1\) 個板子，把 \(n\) 個元素分成 \(k\) 組的方法。方案數為 \(\mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\)。
應用隔板法必須滿足的 3 個條件：
- \(n\) 個元素是相同的
- \(k\) 個組是互異的
- 每組至少分得一個元素
例如，把 10 個相同的球放入 3 個不同的箱子，每個箱子至少一個，有 \(\mathrm{C}_9^2\) 種情況。
隔板法應用
普通隔板法
例 1. 求方程 \(x+y+z=10\) 的正整數解的個數。
分析：將 \(10\) 個求排成一排，球與球之間形成 \(9\) 個空隙，將兩個隔板插入這些空隙中（每空至多插一塊隔板），規定由隔板分成的左、中、右三部分的球數分別為 \(x\)、\(y\)、\(z\) 的值，則隔板法與解的個數之間建立了一一對應關系，故解的個數為 \(\mathrm{C}_{n-1}^{ m-1} = \mathrm{C}_9^2 = 36\)。
增減元素隔板法
例 2. 求方程 \(x+y+z=10\) 的非負整數解的個數。
分析：注意到 \(x\)、\(y\)、\(z\) 可以為零，故例 1 解法中的限定「每空至多插一塊隔板」就不成立了，怎么辦呢？只要預先給 \(x\)、\(y\)、\(z\) 各添加一個球，這樣原問題就轉化為求 \((x+1)+(y+1)+(z+1)=13\) 的解的個數了，則問題就等價於把 \(13\) 個相同小球放入 \(3\) 個不同箱子，每個箱子至少一個，方案數為 \(\mathrm{C}_{n+m-1}^{m-1}=\mathrm{C}_{12}^2=66\)。
例 3. 把 \(10\) 個相同的小球放到 \(3\) 個不同的箱子，第一個箱子至少 \(1\) 個，第二個箱子至少 \(3\) 個，第 \(3\) 個箱子可以為空，有幾種情況？
我們可以在第二個箱子先放入 \(10\) 個小球中的 \(2\) 個，小球剩 \(8\) 個放 \(3\) 個箱子，然后在第三個箱子放入 \(8\) 個小球之外的 \(1\) 個小球（即補充了一個球），則問題轉化為把 \(9\) 個相同小球放 \(3\) 不同箱子，每箱至少 \(1\) 個，幾種方法？\(\mathrm{C}_8^2=28\)。
也可轉化為例 2 的形式，即求方程 \(x+y+z=10\) \((x\ge 1,y\ge 3,z\ge 0)\) 的整數解的個數。構造新變量 \(a=y-2, b=z+1\)，現在 \(x,a,b\) 都 \(\ge 1\) 了，因此可以運用隔板法。原方程化為 \(x+a+b=10-2+1=9\)，隔板法求得方案數 \(\mathrm{C}_{9-1}^{2-1}=\mathrm{C}_8^2=28\)。
例 4. 將 20 個相同的小球放入編號分別為 1，2，3，4 的四個盒子中，要求每個盒子中的球數不少於它的編號數，求放法總數。
分析：先在編號 \(1,2,3,4\) 的四個盒子內分別放 \(0,1,2,3\) 個球，剩下 \(14\) 個球，再把剩下的球分成 \(4\) 組，每組至少 \(1\) 個，由例 \(1\) 知方法有 \(\mathrm{C}_{13}^3=286\)（種）。
添板插板法（添加盒子法）
例 5. 有一類自然數，從左往右的第三個數字開始，每個數字都恰好是它左邊兩個數字之和，直至不能再寫為止，如 1459，58，21369 等。這類數共有幾個？
分析：因為前 2 位唯一確定了整個序列，只要求出前兩位的所有情況即可，設前兩位為 \(a\) 和 \(b\)
顯然 \(a + b \le 9\)，且 \(a\) 不為 \(0\)，但 \(b\) 可以為 0（例如 202246）。這里惱人的地方在於這個不等號，\(a+b\) 的總數是不確定的。怎么辦？
這里可以構造第三個盒子 \(c\) 來放剩下的球，即 \(a+b+c=9\) \((a\ge1,b\ge0,c\ge0)\)。老套路，轉化為 \(a+(b+1)+(c+1)=11\)，使得\(\begin{cases} a\ge1 \\ (b+1)\ge1 \\ (c+1)\ge1 \end{cases}\)
題目等價於，11 個球放入 3 個不同的箱子，每個箱子至少放一個，\(\mathrm{C}_{10}^2\)。
選板法
例 6. 有 10 粒糖，如果每天至少吃一粒（多不限），吃完為止，求有多少種不同吃法？
分析：o_o_o_o_o_o_o_o_o_o（o 代表 10 個糖，_ 代表 9 個空）
所以 10 塊糖，9 個空，插入 9 塊隔板，每個板都可以選擇放或不放，相鄰兩板間的糖一天吃掉，這樣共有 \(2^9=512\) 啦。
分類插板法
例 7. 小梅有 15 塊糖，如果每天至少吃 3 塊，吃完為止，那么共有多少種不同的吃法？
分析：
此問題不能用插板法的原因在於沒有規定一定要吃幾天，因此我們需要對吃的天數進行分類討論。顯然最多吃 5 天，最少吃 1 天。
- 吃 1 天或是 5 天，各一種吃法,一共 \(2\) 種情況
- 吃 2 天，每天預先吃 2 塊，即問 11 塊糖，每天至少吃 1 塊，吃 2 天，幾種情況？ \(\mathrm{C}_{10}^1=10\)
- 吃 3 天，每天預先吃 2 塊，即問 9 塊糖，每天至少 1 塊，吃 3 天？\(\mathrm{C}_8^2=28\)
- 吃 4 天，每天預先吃 2 塊，即問 7 塊糖，每天至少 1 塊，吃 4 天？\(\mathrm{C}_6^3=20\)
所以一共是 \(2+10+28+20=60\) 種。
*逐步插板法
實際上是逐步插空法，屬於插空而不是插板法。
例 8. 在一張節目單中原有 6 個節目，若保持這些節目相對次序不變，再添加 3 個節目，共有幾種情況？
分析：可以用一個節目去插 7 個空位，再用第二個節目去插 8 個空位，用最后個節目去插 9 個空位，所以一共是 \(\mathrm{C}_7^1 \mathrm{C}_8^1 \mathrm{C}_9^1=504\) 種。
綜合例題
有 \(n\) 個不同的盒子，在每個盒子中放一些球（可以不放），使得總球數不大於 \(m\)，求方案數。
分析：總球數 \(\le m\)，所以我們可以增加一個盒子放 \(m\) 個球中沒被選中的球。所以題目等價於 \(m\) 個球放入 \(n+1\) 個盒子中，盒子有里球數可以為 \(0\)，添元素插板法，每一個盒子都增加一個球，即 \(m+n+1\) 個球放入 \(n+1\) 個盒子，\(\mathrm{C}_{m+n}^n\) 為答案。