深入理解L1、L2正則化

過節福利，我們來深入理解下L1與L2正則化。

1 正則化的概念

• 正則化(Regularization) 是機器學習中對原始損失函數引入額外信息，以便防止過擬合和提高模型泛化性能的一類方法的統稱。也就是目標函數變成了原始損失函數+額外項，常用的額外項一般有兩種，英文稱作\(ℓ1-norm\)和\(ℓ2-norm\)，中文稱作L1正則化和L2正則化，或者L1范數和L2范數（實際是L2范數的平方）。

• L1正則化和L2正則化可以看做是損失函數的懲罰項。所謂懲罰是指對損失函數中的某些參數做一些限制。對於線性回歸模型，使用L1正則化的模型叫做Lasso回歸，使用L2正則化的模型叫做Ridge回歸（嶺回歸）。

• 線性回歸L1正則化損失函數：

\[\min_w [\sum_{i=1}^{N}(w^Tx_i - y_i)^2 + \lambda \|w\|_1 ]........(1) \]

• 線性回歸L2正則化損失函數：

\[\min_w[\sum_{i=1}^{N}(w^Tx_i - y_i)^2 + \lambda\|w\|_2^2] ........(2) \]

• 公式(1)(2)中\(w\)表示特征的系數（\(x\)的參數），可以看到正則化項是對系數做了限制。L1正則化和L2正則化的說明如下：
  • L1正則化是指權值向量\(w\)中各個元素的絕對值之和，通常表示為\(\|w\|_1\)。
  • L2正則化是指權值向量\(w\)中各個元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回歸的L2正則化項有平方符號），通常表示為\(\|w\|_2^2\)。
  • 一般都會在正則化項之前添加一個系數\(\lambda\)。Python中用\(\alpha\)表示，這個系數需要用戶指定（也就是我們要調的超參）。

2 正則化的作用

• L1正則化可以使得參數稀疏化，即得到的參數是一個稀疏矩陣，可以用於特征選擇。
  • 稀疏性，說白了就是模型的很多參數是0。通常機器學習中特征數量很多，例如文本處理時，如果將一個詞組（term）作為一個特征，那么特征數量會達到上萬個（bigram）。在預測或分類時，那么多特征顯然難以選擇，但是如果代入這些特征得到的模型是一個稀疏模型，很多參數是0，表示只有少數特征對這個模型有貢獻，絕大部分特征是沒有貢獻的，即使去掉對模型也沒有什么影響，此時我們就可以只關注系數是非零值的特征。這相當於對模型進行了一次特征選擇，只留下一些比較重要的特征，提高模型的泛化能力，降低過擬合的可能。
• L2正則化可以防止模型過擬合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止過擬合。

3 L1正則化與稀疏性

• 事實上，”帶正則項”和“帶約束條件”是等價的。
• 為了約束w的可能取值空間從而防止過擬合，我們為該最優化問題加上一個約束，就是w的L1范數不能大於m：

\[\begin{cases} \min \sum_{i=1}^{N}(w^Tx_i - y_i)^2 \\ s.t. \|w\|_1 \leqslant m. \end{cases}........(3) \]

• 問題轉化成了帶約束條件的凸優化問題，寫出拉格朗日函數:

\[\sum_{i=1}^{N}(w^Tx_i - y_i)^2 + \lambda (\|w\|_1-m)........(4) \]

• 設\(W_*\)和\(\lambda_*\)是原問題的最優解，則根據\(KKT\)條件得：

\[\begin{cases} 0 = \nabla_w[\sum_{i=1}^{N}(W_*^Tx_i - y_i)^2 + \lambda_* (\|w\|_1-m)] \\ 0 \leqslant \lambda_*. \end{cases}........(5) \]

• 仔細看上面第一個式子，與公式(1)其實是等價的，等價於(3)式。

• 設L1正則化損失函數：\(J = J_0 + \lambda \sum_{w} |w|\)，其中\(J_0 = \sum_{i=1}^{N}(w^Tx_i - y_i)^2\)是原始損失函數，加號后面的一項是L1正則化項，\(\lambda\)是正則化系數。

• 注意到L1正則化是權值的絕對值之和，\(J\)是帶有絕對值符號的函數，因此\(J\)是不完全可微的。機器學習的任務就是要通過一些方法（比如梯度下降）求出損失函數的最小值。當我們在原始損失函數\(J_0\)后添加L1正則化項時，相當於對\(J_0\)做了一個約束。令\(L=\lambda \sum_w|w|\)，則\(J=J_0+L\)，此時我們的任務變成在\(L\)約束下求出\(J_0\)取最小值的解。

• 考慮二維的情況，即只有兩個權值\(w_1\)和\(w_2\)，此時\(L=|w_1|+|w_2|\)對於梯度下降法，求解\(J_0\)的過程可以畫出等值線，同時L1正則化的函數\(L\)也可以在\(w_1\)、\(w_2\)的二維平面上畫出來。如下圖：
  

• 上圖中等值線是\(J_0\)的等值線，黑色方形是\(L\)函數的圖形。在圖中，當\(J_0\)等值線與\(L\)圖形首次相交的地方就是最優解。上圖中\(J_0\)與\(L\)在\(L\)的一個頂點處相交，這個頂點就是最優解。注意到這個頂點的值是\((w_1,w_2)=(0,w_2)\)。可以直觀想象，因為\(L\)函數有很多突出的角（二維情況下四個，多維情況下更多），\(J_0\)與這些角接觸的機率會遠大於與\(L\)其它部位接觸的機率，而在這些角上，會有很多權值等於\(0\)，這就是為什么L1正則化可以產生稀疏模型，進而可以用於特征選擇。

• 而正則化前面的系數\(\lambda\)，可以控制\(L\)圖形的大小。\(\lambda\)越小，\(L\)的圖形越大（上圖中的黑色方框)；\(\lambda\) 越大，\(L\)的圖形就越小，可以小到黑色方框只超出原點范圍一點點，這是最優點的值\((w_1,w_2)=(0,w_2)\)中的\(w_2\)可以取到很小的值。

• 同理，又L2正則化損失函數：\(J = J_0 + \lambda \sum_w w^2\),同樣可畫出其在二維平面的圖像，如下：
  

• 二維平面下L2正則化的函數圖形是個圓，與方形相比，被磨去了棱角。因此\(J_0\)與\(L\)相交時使得\(w_1\)或\(w_2\)等於零的機率小了許多，這就是為什么L2正則化不具有稀疏性的原因。

4 L2正則化為什么能防止過擬合

• 擬合過程中通常都傾向於讓權值盡可能小，最后構造一個所有參數都比較小的模型。因為一般認為參數值小的模型比較簡單，能適應不同的數據集，也在一定程度上避免了過擬合現象。可以設想一下對於一個線性回歸方程，若參數很大，那么只要數據偏移一點點，就會對結果造成很大的影響；但如果參數足夠小，數據偏移得多一點也不會對結果造成什么影響，專業一點的說法是抗擾動能力強。
• 為什么L2正則化可以獲得值很小的參數?
• (1) 以線性回歸中的梯度下降法為例。假設要求的參數為\(\theta\)，\(h \theta (x)\)是我們的假設函數，那么線性回歸的代價函數如下：

\[J_{\theta} = \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n (h \theta (x^{(i)}) - y^{(i)})^2 ........(6) \]

• (2)在梯度下降中\(\theta\)的迭代公式為：

\[\theta_j = \theta_j - \alpha \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (h \theta (x^{(i)}) - y^{(i)}) x_j^{(i)}........(7) \]

• (3) 其中\(\alpha\)是learning rate。 上式是沒有添加L2正則化項的迭代公式，如果在原始代價函數之后添加L2正則化，則迭代公式為：

\[\theta_j = \theta_j(1- \alpha \frac{\lambda}{n}) - \alpha \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (h \theta (x^{(i)}) - y^{(i)}) x_j^{(i)} ........(8) \]

• 其中\(\lambda\)就是正則化參數。從上式可以看到，與未添加L2正則化的迭代公式相比，每一次迭代，\(\theta_j\)都要先乘以一個小於1的因子，從而使得\(\theta_j\)不斷減小，因此總得來看，\(\theta\)是不斷減小的。
  最開始也提到L1正則化一定程度上也可以防止過擬合。之前做了解釋，當L1的正則化系數很小時，得到的最優解會很小，可以達到和L2正則化類似的效果。

5 正則化項的參數選擇

• L1、L2的參數\(\lambda\)如何選擇好?
• 以L2正則化參數為例：從公式(8)可以看到，λ越大，\(\theta_j\)衰減得越快。另一個理解可以參考L2求解圖， \(\lambda\)越大，L2圓的半徑越小，最后求得代價函數最值時各參數也會變得很小；當然也不是越大越好，太大容易引起欠擬合。
• 經驗
  從0開始，逐漸增大\(\lambda\)。在訓練集上學習到參數，然后在測試集上驗證誤差。反復進行這個過程，直到測試集上的誤差最小。一般的說，隨着\(\lambda\)從0開始增大，測試集的誤分類率應該是先減小后增大，交叉驗證的目的，就是為了找到誤分類率最小的那個位置。建議一開始將正則項系數λ設置為0，先確定一個比較好的learning rate。然后固定該learning rate，給\(\lambda\)一個值（比如1.0），然后根據validation accuracy，將λ增大或者減小10倍，增減10倍是粗調節，當你確定了\(\lambda\)的合適的數量級后，比如\(\lambda= 0.01\)，再進一步地細調節，比如調節為0.02，0.03，0.009之類。

參考文獻

• https://blog.csdn.net/jinping_shi/article/details/52433975
• 《百面機器學習》