作為損失函數
L1范數損失函數
L1范數損失函數，也被稱之為平均絕對值誤差（MAE）。總的來說，它把目標值$Y_i$與估計值$f(x_i)$的絕對差值的總和最小化。
$$S=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^n|Y_i-f(x_i)|$$
# tensorflow tf.reduce_mean(tf.abs(logits - labels)) # numpy np.sum(np.abs(logits-labels))
L2范數損失函數
L2范數損失函數，也被稱為均方誤差（MSE, mean squared error），總的來說，它把目標值$Y_i$與估計值$f(x_i)$的差值的平方和最小化。
$$S=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^n(Y_i-f(x_i))^2$$
| L1損失函數 | L2損失函數 |
| 魯棒 | 不是很魯棒 |
| 不穩定性 | 穩定解 |
| 可能多個解 | 總是一個解 |
總結一下：L2范數loss將誤差平均化（如果誤差大於1，則誤差會放大很多），模型的誤差會比L1范數來得大，因此模型會對樣本更加敏感，這就需要調整模型來最小化誤差。如果有個樣本是一個異常值，模型就需要調整以適應單個的異常值，這會犧牲許多其他正常的樣本，因為這些正常的樣本的誤差比這單個的異常值的誤差小。
# ----- tensorflow ----- # tf.reduce_mean((labels-logits) ** 2) # 或者使用 mean_squared_error 函數 tf.losses.mean_squared_error(labels, logits) # ----- numpy ----- # np.sum(np.square(y_true-y_pre))
作為正則化
我們經常會看見損失函數后面添加一個額外項，一般為L1-norm,L2-norm，中文稱作L1正則化和L2正則化，或者L1范數和L2函數。
L1正則化和L2正則化可以看做是損失函數的懲罰項。所謂『懲罰』是指對損失函數中的某些參數做一些限制。防止模型過擬合而加在損失函數后面的一項。
L1正規化
L1范數符合拉普拉斯分布，是不完全可微的。表現在圖像上會有很多角出現。這些角和目標函數的接觸機會遠大於其他部分。就會造成最優值出現在坐標軸上，因此就會導致某一維的權重為0 ，產生稀疏權重矩陣，進而防止過擬合。
最小平方損失函數的L1正則化：
L1正則化是指權值向量$w$中各個元素的絕對值之和
L2正規化
L2范數符合高斯分布，是完全可微的。和L1相比，圖像上的棱角被圓滑了很多。一般最優值不會在坐標軸上出現。在最小化正則項時，可以是參數不斷趨向於0，最后活的很小的參數。
在機器學習中，正規化是防止過擬合的一種重要技巧。從數學上講，它會增加一個正則項，防止系數擬合得過好以至於過擬合。L1與L2的區別只在於，L2是權重的平方和，而L1就是權重的和。如下：
最小平方損失函數的L2正則化：
L2正則化是指權值向量$w$中各個元素的平方和然后再求平方根
作用
L1正則化
- 優點：輸出具有稀疏性，即產生一個稀疏模型，進而可以用於特征選擇；一定程度上，L1也可以防止過擬合
- 缺點：但在非稀疏情況下計算效率低
L2正則化：
- 優點：計算效率高（因為存在解析解）；可以防止模型過擬合（overfitting）
- 缺點：非稀疏輸出；無特征選擇
稀疏模型和特征選擇：稀疏性我在這篇文章有詳細講解，如果特征符合稀疏性，說明特征矩陣很多元素為0，只有少數元素是非零的矩陣，表示只有少數特征對這個模型有貢獻，絕大部分特征是沒有貢獻的，或者貢獻微小（因為它們前面的系數是0或者是很小的值，即使去掉對模型也沒有什么影響），此時我們就可以只關注系數是非零值的特征。這就是稀疏模型與特征選擇的關系。
文獻[1]解釋了為什么L1正則化可以產生稀疏模型（L1是怎么樣系數等於0的），以及為什么L2正則化可以防止過擬合，由於涉及到很多公式，想要詳細了解的同學，請移步。
區別
1、L1正則化是模型各個參數的絕對值之和。
L2正則化是模型各個參數的平方和的開方值。
2、L1會趨向於產生少量的特征，而其他的特征都是0，產生稀疏權重矩陣。
L2會選擇更多的特征，這些特征都會接近於0。
再討論幾個問題
1.為什么參數越小代表模型越簡單？
越是復雜的模型，越是嘗試對所有樣本進行擬合，包括異常點。這就會造成在較小的區間中產生較大的波動，這個較大的波動也會反映在這個區間的導數比較大。
只有越大的參數才可能產生較大的導數。因此參數越小，模型就越簡單。
2.實現參數的稀疏有什么好處？
因為參數的稀疏，在一定程度上實現了特征的選擇。一般而言，大部分特征對模型是沒有貢獻的。這些沒有用的特征雖然可以減少訓練集上的誤差，但是對測試集的樣本，反而會產生干擾。稀疏參數的引入，可以將那些無用的特征的權重置為0.
3.L1范數和L2范數為什么可以避免過擬合？
加入正則化項就是在原來目標函數的基礎上加入了約束。當目標函數的等高線和L1，L2范數函數第一次相交時，得到最優解。
損失函數
均方根誤差（RMSE）
$$RMSE=\sqrt{mse}=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^n(Y_i-f(x_i))^2}$$
參考文獻
CSDN博客：機器學習中正則化項L1和L2的直觀理解
Differences between L1 and L2 as Loss Function and Regularization