試除法:最簡單的因數分解算法，從$ 2 $到$ \sqrt n $一個一個試。
試除法(改進):從$ 2 $到$ \sqrt n $挑素數一個一個試。
然而這樣復雜度是相當高的。
生日悖論：指如果一個房間里有23個或23個以上的人，那么至少有兩個人的生日相同的概率要大於50%。
我們在$ [2,n) $取一個數，該數是$ n $的因子的概率很小.
我們取$ k $ 個數$ x_1,x_2,x_3...x_k $,而取出的 $ k $ 個數中，$ \exists i,j : (x_i-x_j) | n $ 的概率隨着$ k $ 增大而增高。
我們有一個更好的辦法：
對選取的$ k $ 個數 $ x_1,x_2,x_3...x_k $，不再詢問是否存在$ (x_i-x_j) | n $，改為詢問 $ gcd(x_i-x_j,n)>1 $ 的情況。
所以，一個簡單的策略如下：
1.在區間$[2,n)$ 中隨即選取$ k $個數$ x_1,x_2,x_3...x_k $
2.判斷是否存在$ gcd(x_i-x_j,n)>1 $ , 若存在,$ gcd(x_i-x_j,n)>1 $ 是$ n $的一個因子。
我們大概需要選取$ n^{\frac{1}{4}}$個數，這可能存不下。
Pollard's Rho 算法
為了解決數太多無法儲存的問題，Pollard's Rho 算法之將兩個數存在內存里，我們生成並檢查這兩個數，反復執行這個步驟並希望得到我們想要的數。
我們不斷使用一個函數來生成這個序列（有點像隨機數），並非所有函數都可以，但有一個神奇的函數可以$ f(x)=(x^2+a)mod n $; $ a $ 可以指定也可以隨機。
這個序列顯然是存在環的，如何檢測環出現呢？
方法一：floyd判環法
floyd判環法：假如兩個人$A、B$在環上走，如何知道已經走完一圈呢? 讓$B$以$A$兩倍的速度走，$B$第一次趕上$A$時,$B$至少走完一圈了
設定$ x=y=x0 $的初始值，進行迭代，每次：$ x=f(x), y=f(f(y)) $ 即：$ x=x_i,y=x_{2i} $
若$ gcd(x−y,n)=1 $,那么繼續枚舉下一對 $x,y$ 。
若$ gcd(x−y,n)=n $,更換隨機函數 f(x)f(x) ，重新進行算法。
否者我們就找到了一個n的非平凡因子 $ d=gcd(x-y,n) $
當 $x==y$時出現循環,此時$x-y=0$,$ gcd(x−y,n)=n $，即為2情況。
LL pollardRho(LL n, int a){ LL x=2,y=2,d=1; while(d==1){ x=(x*x+a)%n; y=(y*y+a)%n;y=(y*y+a)%n; d=gcd(abs(x-y),n); } if(d==n) return pollardRho(n,a+1); return d; }
方法二：brent判環法
不同於floyd每次計算$x_i,x_{2i}$進行判斷,brent每次只計算$x_i$,當$ｋ$是2的方冪時,$y=x_k$,每次計算$d=gcd(x_k−y,n)$
LL pollardRho(LL n, int a){ LL x=2,y=2,d=1,k=0,i=1; while(d==1){ ++k; x=(x*x+a)%n; d=gcd(abs(x-y),n); if(k==i){y=x;i<<=1;} } if(d==n)return pollardRho(n,a+1); return d; }
求全部因子(結合miller-rabin測試）
LL cnt,fact[100]; LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);} LL pollardRho(LL n, int a){ LL x=rand()%n,y=x,d=1,k=0,i=1; while(d==1){ ++k; x=ksc(x,x,n)+a;if(x>=n)x-=n; d=gcd(x>y?x-y:y-x,n); if(k==i){y=x;i<<=1;} } if(d==n)return pollardRho(n,a+1); return d; } void findfac(LL n){ if(millerRabin(n)){fact[++cnt]=n;return;} LL p=pollardRho(n,rand()%(n-1)+1); findfac(p); findfac(n/p); }
例題：POJ1811
https://files-cdn.cnblogs.com/files/Doggu/Pollard-rho%E7%AE%97%E6%B3%95%E8%AF%A6%E8%A7%A3.pdf
https://blog.csdn.net/qq_39972971/article/details/82346390
https://www.cnblogs.com/book-book/p/6349362.html